Dies soll bewiesen werden. $$ \prod _{ k=2n }^{ 3n }{ (1-\frac { 1 }{ k } } )=\frac { 2n-1 }{ 3n } $$ für n ≥ 1
Induktionsanfang: für n hab ich 1 eingesetzt.
$$ \frac { 1 }{ 3 } =\frac { 1 }{ 3 } $$ und soweit eine wahre Aussage.
Induktionsbehauptung: $$ \prod _{ k=2(n+1) }^{ 3(n+1) }{ (1-\frac { 1 }{ k } } )=\frac { 2(n+1)-1 }{ 3(n+1) } =\frac { 2n+1 }{ 3n+3 } $$
Induktionsbeweis:
$$ \prod _{ k=2(n+1) }^{ 3(n+1) }{ (1-\frac { 1 }{ k } } )=(\frac { 2n-1 }{ 3n } )*(1-\frac { 1 }{ 3(n+1) } )=(\frac { 2n-1 }{ 3n } )*(\frac { 3n+3 }{ 3n+3 } -\frac { 1 }{ 3n+3 } ) $$
$$ =\frac { 6{ n }^{ 2 }+4n-3n-2 }{ 9{ n }^{ 2 }+9n } =\frac { n(6n+1)-2 }{ n(9n+9) } =\frac { 6n-1 }{ 9n+9 } $$
jetzt noch mit 3 dividieren. $$ \frac { 2n-\frac { 1 }{ 3 } }{ 3n+3 } $$
Wie man sieht stimmt hier etwas nicht. Ich weiß nur nicht was und würde mich über Hinweise,Tipps freuen.