Beweise mit vollständiger Induktion, Produkt

Question

Aufgabe:

Beweise mit vollständiger Induktion:

\( \prod_{k=2}^{n}{(1-\frac{k-1}{k}} \)) = \( \frac{1}{n!} \)

IA:

\( \prod_{k=2}^{n}{(1-\frac{2-1}{2}} \)) = 1/2= \( \frac{1}{2!} \)

IV:

Es gilt: \( \prod_{k=2}^{n}{(1-\frac{k-1}{k}} \)) = \( \frac{1}{n!} \)

IB:

Dann gilt auch:

\( \prod_{k=2}^{n+1}{(1-\frac{k-1}{k}} \)) = \( \frac{1}{(n+1)!} \)

IS:

\( \prod_{k=2}^{n+1}{(1-\frac{k-1}{k}} \)) = \( \prod_{k=2}^{n}{(1-\frac{k-1}{k}} \)) * (1-\( \frac{(n+1)-1}{n+1} \))

(IV) = \( \frac{1}{(n+1)!} \) * (1-\( \frac{(n+1)-1}{n+1} \))

= \( \frac{1}{(n+1)!} \) * (\( \frac{n+1}{n+1} \) - \( \frac{(n+1)-1}{n+1} \))

= \( \frac{1}{(n+1)!} \) * (\( \frac{-1}{n+1} \))

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht wie ich weiter machen soll...

Comments

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1. IV liefert den Faktor 1/(n!) und nicht 1/((n+1)!):

2. Statt -1 muss es im 2. Faktor 1 heißen. Regel: "Minus mal Minus gleich Plus"

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Die ersten Faktoren lauten: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 usw. , alles Stammbrüche mit natürlichen Zahlen.

Daraus ergibt sich augenscheinlich: ∏ = 1/n!

Mit der geforderten Induktion schießt man hier mit Kanonen auf Spatzen.

Answer 1

Laut IV ist

        \(\begin{aligned}& \prod_{k=2}^{n}{\left(1-\frac{k-1}{k}\right)}\cdot \left(1-\frac{(n+1)-1}{n+1}\right)\\=\,&\frac{1}{n!}\cdot \left(1-\frac{(n+1)-1}{n+1}\right)\end{aligned}\)