Aufgabe:
Lagrange-Funktion und Bewegungsgleichungen
Betrachten Sie ein System aus zwei Punktteilchen der Masse \( m \), die über die konstante Kraft
\( \vec{F}_{i j}=\frac{\alpha}{\sqrt{2}} \frac{\vec{r}_{i}-\vec{r}_{j}}{\left|\vec{r}_{i}-\vec{r}_{j}\right|} \)
miteinander wechselwirken und der äußeren Kraft
\( \vec{F}^{\mathrm{ext}}(\vec{r})=-k \vec{r}, \quad k \neq 0 \)
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unterliegen. Nehmen Sie an, dass das Problem zweidimensional behandelt werden kann. Zeigen Sie, dass die Potentiale
\( V_{i j}\left(\vec{r}_{i}, \vec{r}_{j}\right)=-\frac{\alpha}{\sqrt{2}}\left|\vec{r}_{i}-\vec{r}_{j}\right| \quad \text { und } \quad V^{\text {ext }}(\vec{r})=\frac{k}{2} \vec{r}^{2} \)
den gegebenen Kraftfeldern entsprechen. Bestimmen Sie die Lagrange-Funktion
\( \mathcal{L}\left(\vec{r}_{1}, \dot{\vec{r}}_{1}, \vec{r}_{2}, \dot{\vec{r}}_{2}\right)=T\left(\dot{\vec{r}}_{1}, \dot{\vec{r}}_{2}\right)-V\left(\vec{r}_{1}, \vec{r}_{2}\right) \)
und geben Sie die Lagrange-Bewegungsgleichungen an. Verwenden Sie dazu
a) kartesische Koordinaten für beide Teilchen \( \left(x_{i}, y_{i}\right), i=1,2 \),
b) ebene Polarkoordinaten für beide Teilchen \( \left(r_{i}, \varphi_{i}\right), i=1,2 \),
c) und ebene Polarkoordinaten \( \left(r_{1}, \varphi_{1}\right) \) und \( \left(r_{2}, \Delta \varphi\right) \), wobei \( \Delta \varphi=\varphi_{2}-\varphi_{1} \).
Prüfen Sie für alle drei Fälle, ob zyklische Koordinaten auftreten und (falls ja) welche Erhaltungsgrößen daraus resultieren.
Problem/Ansatz:
Hallo,
Weißt jemand, wie man diese Aufgabe lösen kann?
Ein Lösungsweg wäre wirklich hilfreich.
Danke im Voraus
