Vollständige Induktion Produkt: ∏ (k+2)^3 = ((n!)^3)/8

Question

Ich habe hier leider keine Ahnung, wie ich mit dem Index umgehen muss und finde im Internet keine Erklärung dazu. Hatten bisher nur welche mit "bis n".

Könnte mir bitte jemand das Beispiel erklären?

n-2

∏    (k+2)^3= ((n!)^3)/8      zu zeigen für n∈N n≥3

k=1

Answer 1

Schau dir folgende Umformungen an:$$\prod _{ k=1 }^{ n-2 }{ \left( k+2 \right) ^{ 3 } } =((n!)^{ 3 })/8$$Indextransformation:Grenzen um 2 erhöhen, dafür Variable k um 2 verringern:$$\Leftrightarrow \prod _{ k=3 }^{ n }{ k^{ 3 } } =((n!)^{ 3 })/8$$Gleichung mit 8 multiplizieren:$$\Leftrightarrow 8\prod _{ k=3 }^{ n }{ k^{ 3 } } =(n!)^{ 3 }$$Die untere Grenze von 3 auf 1 setzen (entspricht einer Multiplikation mit 1³*2³), dafür muss im Gegenzug durch die ersten beiden Glieder des Produktes, also durch 1³*2³ dividiert werden:$$\Leftrightarrow \frac { \left( 8\prod _{ k=1 }^{ n }{ k^{ 3 } } =(n!)^{ 3 } \right)  }{ { 1 }^{ 3 }*{ 2 }^{ 3 } }$$Kürzen mit 8:$$\Leftrightarrow \prod _{ k=1 }^{ n }{ k^{ 3 } } =(n!)^{ 3 }$$

Nun sieht das Produkt doch schon deutlich "handlicher" aus, nicht wahr?

Comments

!!

Wenn ich das k im Index um 2 erhöhe, dann fällt 2 im Term weg, sehe ich das so richtig?

Und jetzt geht's erst mit der eigentlichen Induktion los!?

Das heißt, ich muss immer solche Umformungen betreiben, und dann mach ich erst die vollständige Induktion?

Answer 2

Wozu überhaupt Induktion? $$\prod_{k=1}{n-2} (k+2)^3 =\prod _{k=3}^n k^3= \frac{1}{2}\prod_{k=1}^n k)^3= \frac{n!}{2} ^3 $$

Comments

Gemeint ist:

$$ \prod _{ k=1 }^{ n-2 } (k+2)^{ 3 }=\prod _{ k=3 }^{ n } k^{ 3 }=(\frac { 1 }{ 2 } \prod _{ k=1 }^{ n } k)^{ 3 }=(\frac { n! }{ 2 } )^{ 3 } $$

Das dürfte aber klar sein.