Induktionsbeweis Produkt, Indexshift?

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie mittels vollstandiger Induktion, dass for alle natinrlichen Zahlen \( n \geq 1 \) die folgende Anssage gilt:
\( \prod \limits_{k=2 n}^{3 n}\left(1-\frac{1}{k}\right)=\frac{2 n-1}{3 n} \)

Ansatz:

Ich habe bisher den Induktionsanfang als auch die InduktionsVoraussetzung gelöst. Darauf folgt ja bekanntlich der Induktionsschritt und da habe ich ein Problem:

n → n+1

\( \prod \limits_{k=2(n+1)}^{3(n+l)}\left(1-\frac{1}{k}\right)=\frac{2(n+1)-1}{3(n+1)} \)

\( \prod \limits_{k=2 n+2}^{3 n+3}\left(1-\frac{1}{k}\right)=\frac{2 n+1}{3 n+3} \)

Nun weiß ich nicht wie ich weiter vorgehen soll.

Mir ist bekannt, dass ich das Produkt jetzt auseinanderziehen müsste aber dann komme ich ja nicht auf die Induktionsvoraussetzung.

Answer 1

Bei solchen Aufgaben musst du immer Terme aus der Summe bzw. dem Produkt rausziehen. Falls die untere Grenze auch von $n$ abhängt, musst du (wie in diesem Fall) das Produkt (ggf. sonst die Summe) von einem tieferen Wert starten lassen und durch Multiplikation mit den entsprechenden Kehrwerten (bzw. Subtraktion bei Summen) aufheben. Das funktioniert in 99% der Fälle bei solchen Induktionsaufgaben und auch diese ist keine Ausnahme. Allerdings ist das, wie du gleich feststellen wirst, in diesem Fall relativ aufwändig und es gibt sicherlich eine elegantere Lösung.

Also den Induktionsanfang hast du gezeigt. Sei also für festes \( n\in\mathbb{N} \)

$$ \begin{aligned}  \prod_{k=2n}^{3n} 1-\frac{1}{k} = \frac{2n-1}{3n}.   \tag{\(\ast\)}\end{aligned} $$

Bemerke zunächst, dass

$$ 1-\frac{1}{k} = \frac{k-1}{k} .$$

Es folgt

$$ \prod_{k=2(n+1)}^{3(n+1)} 1-\frac{1}{k}  =   \prod_{k=2n+2}^{3n+3} \frac{k-1}{k}     =      \frac{(2n+1)2n}{2n(2n-1)} \cdot \prod_{k=2n}^{3n}  \left( \frac{k-1}{k} \right) \cdot \frac{3n(3n+1)(3n+2)}{(3n+1)(3n+2)(3n+3)}$$

und mit (\(\ast\)) erhält man schließlich

 $$ \frac{ (2n+1)\overbrace{(2n-1)}^{(\ast)}3n(3n+1)(3n+2) }{ (2n-1)\underbrace{3n}_{(\ast)}(3n+1)(3n+2)(3n+3) } = \frac{2n+1}{3n+3} = \frac{2(n+1)-1}{3(n+1)}$$

Diesen Salat ausrechnen musst du selber, kann auch sein, dass ich irgendwo einen Tippfehler gemacht habe.

Ich hoffe, dass die Idee klargeworden ist. Wenn nicht, nachfragen!