Induktion lösen mit Indexshift?

Question

Hallo :)

Ich würde gerne folgende Induktion durchführen, nur leider habe ich Probleme mit dem indexshift, da ich "unten" in der Summe j=n+2 stehen habe und "oben" 2n+2 und ich nicht weiß wie ich damit umgehen soll. :/

Würde mich sehr freuen,wenn mir jemand helfen könnte

Answer 1

Ist doch gar kein Shift nötig.

Du musst doch zeigen:

$$\sum \limits_{j=n+2}^{2n+2}\frac{1}{j}=\sum \limits_{j=1}^{2n+2}(-1)^{j-1}\frac{1}{j}$$

Du kannst doch beide Seiten simultan umformen bis etwas offensichtlich

Wahres rauskommt, also etwa so, damit man links die Ind.vor. anwenden kann:

$$-\frac{1}{n+1}+\sum \limits_{j=n+1}^{2n}\frac{1}{j}+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}=\sum \limits_{j=1}^{2n+2}(-1)^{j-1}\frac{1}{j}$$

Und rechts entsprechend die letzten beiden Summanden einzeln gibt

$$-\frac{1}{n+1}+\sum \limits_{j=n+1}^{2n}\frac{1}{j}+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n}=\sum \limits_{j=1}^{2n}(-1)^{j-1}\frac{1}{j}+(-1)^{2n}\frac{1}{2n+1}+(-1)^{2n+1}\frac{1}{2n+2}$$

Die beiden Summen sind nach Ind.vor. gleich , also musst du nur noch prüfen:

$$-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}=(-1)^{2n}\frac{1}{2n+1}+(-1)^{2n+1}\frac{1}{2n+2}$$

also kurz

$$-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}=\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}$$

Und das passt !

Comments

Danke erst mal für die Hilfe :)

Ich verstehe leider drei Umformungen nicht.

-in der ersten Zeile ziehst du 1/(n+1) raus, nur steht bei dir da ein Minus vor diesem Term und ich verstehe nicht ganz warum.

-In der zweiten Zeile ziehst du rechts was aus der Summe, ohne diese zu verändern. Ich kann nicht ganz nachvollziehen was du da tust.

-Und ich sehe nicht warum die Summen gleich seien sollen und daher weg fallen. Bei der ersten habe ich oben 2n und unten j=n+1 stehen und bei der zweiten 2n+2 oben und unten j=1 stehen...wie kann das gleich sein?

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-in der ersten Zeile ziehst du 1/(n+1) raus, nur steht bei dir da ein Minus vor diesem Term und ich verstehe nicht ganz warum.

Die Summe ging ja zunächst von n+2 ab, damit es zur Ind.vor.

passt, muss es aber bei n+1 losgehen, d.h. das ist dann ein

Summand mehr. Den muss ich mit minus davor schreiben,

damit es sich ausgleicht.

-In der zweiten Zeile ziehst du rechts was aus der Summe, ohne diese zu verändern. Ich kann nicht ganz nachvollziehen was du da tust.

Da ist ein Tippfehler drin (Copy-Paste hat eben auch Nachteile, korrigiere ich gleich.) Die Summe muss dann natürlich nur noch bis 2n laufen, und die letzten beiden Summanden stehen extra.

-Und ich sehe nicht warum die Summen gleich seien sollen und daher weg fallen. Bei der ersten habe ich oben 2n und unten j=n+1 stehen und bei der zweiten 2n+2 oben und unten j=1 stehen...wie kann das gleich sein?

Nach Korrektur des Tippfehlers ist das wohl auch klar.

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Vielen Dank! Habe es jetzt verstanden :)