Äquivalenzrelation xRy gdw x kleiner-gleich y.

Question

Aufgabe:

X = IR, 
xRy :⇔ x ≤ y
 
Äquivlaenzrelation auf IR oder nicht ?


Vorgehen: 

1. Reflexivität xRx 

 x ≤ x 

Ist erfüllt weil Gleichheit zugelassen ist und somit finde ich eine Teilmenge dafür. 


2. Symmetrie xRy ⇒ yRx

 x ≤ y ⇒ y ≤ x

Im allgemeinen ist dies nicht erfüllt aber es ist erfüllt wenn x=y ist. 
Frage: Darf ich so argumentieren oder ist sind x und y als zwei strikt ungleiche Zahlen anzusehen weil es in der Definition der Symmetrie so mit einem x und y angedeutet wird ? 


3. Tranisitivität xRy und yRz ⇒ xRz. 

 x ≤ y  und  y ≤ z ⇒ x ≤ z  

Das ist auch erfüllt denn 1 ≤ 2 und 2 ≤ 3 ⇒ 1 ≤ 3. 


Somit ist xRy eine Äqiuvalenzrealation auf IR. 

Danke für Eure Hilfe !


Ergänzung:

Anderersteids, kann ich sagen, dass

x ≤ y  | *(-1)
-x ≥ -y | +x, +y
y ≥ x = x ≤ y . 

Also ich komme durch Umformung von xRy nicht auf yRx, somit ginge das nicht und die Symmetrie schlüge fehl. 

Answer 1

Also ich komme durch Umformung von xRy nicht auf yRx, somit ginge das nicht und die Symmetrie schlüge fehl. 

So ist es !

Also KEINE Äquivalenzrelation !

Comments

Einmal hat mir ein Dozent genau bei solchen Aufgaben gesagt er habe keine Ahnung was die Gleichung soll, er schaue nur darauf ob er bei der Symmetrieeigenschaft von xRy eben durch Umformung zu yRx kommt.

Mich hat hier verwirrt, dass es eben eine Teilmenge schon gäbe falls x und y gleich sind aber jetzt ist es klar ! :)

---

Symmetrie heißt ja ausführlich:

Für alle x,y gilt    xRy ==>  yRx

Wenn es also schon für ein Paar nicht gilt,

liegt keine Symmetrie vor.

---

Okay das „für alle“ hatte ich auch nicht beachtet.