Überprüfen auf Äquivalenzrelation R⊆ℕ2 mit der Definition xRy :⇔ ∃a,b∈ℕ≥1 : y=axb

Question

R⊆ℕ² mit der Definition xRy :⇔ ∃a,b∈ℕ_≥1 : y=ax^b

Ich habe diese Aufgabe im Internet mal zum nachrrechnen gefunden, verstehe aber die Lösung nicht ganz. Es wird gesagt, dass sie reflexiv und transitiv ist, aber nicht symmetrisch.

Ich würde mich sehr darüber freuen, wenn mir mal jemand zeigen könnte warum sie reflexiv ist - verstehe das nicht wirklich

Für Reflexiv ist zu zeigen  xRx ist, also zu zeigen, dass x = ax^b ist, das wäre doch nur der Fall wenn a=b=1 wären?

Answer 1

Du hast schon selbst die Antwort gegeben: Wenn man a = 1 und b = 1 wählt, stimmt die Gleichung. Und das reicht, denn in der Definition steht ja nur, dass es solche Zahlen a und b geben muss (∃ steht für "es gibt"...). Also gilt xRx bezüglich dieser Relation für alle natürlichen Zahlen x, die Relation ist also reflexiv.

Comments

Irgendwie hat mich die Aufgabe bissl verwirrt, will nochmal fragen, ob das mit der transitivität jetzt genauso ist?

Bedeutet: xRy und yRz, zz: xRz

somit wäre: y=ax^b und z=ay^b und zu zeigen ist: z=ax^b

nun setzte ich a=b=1?

somit wäre dann zu zeigen: z=x ,aus y=x und z=y, was ich durch einsetzten erhalte und somit transitiv?

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Zunächst ein Beispiel: Gilt 2R3 ? Um dies zu prüfen, müsstest du zwei natürliche Zahlen a und b finden, so dass 3=a*2^b . Dir ist vermutlich klar, dass das nicht geht, wobei natürlich wichtig ist, dass es natürliche Zahlen sein müssen. Aber 5R75 beispielsweise gilt, denn in diesem Beispiel kann man passende Zahlen finden, und zwar a=3 und b=2. Bei der Transitivität musst du nun beweisen: Wenn xRy und yRz, dann ist auch xRz. Du darfst dann nur voraussetzen, dass es in beiden Fällen geeignete Zahlen a und b gibt, so dass diese Gleichungen gelten, aber du darfst hier keine konkreten Zahlen annehmen. Du musst bei dieser Relation also zeigen: Wenn es insgesamt vier natürlich Zahlen gibt (ich nenne sie jetzt mal a,b,c,d), so dass die Gleichungen y=a*x^b und z = c * y^d stimmen, dann muss die analoge Gleichung auch für x und z gelten. D.h. es muss möglich sein, zwei Zahlen e und f zu finden, so dass z = e * x^f . Und das geht tatsächlich immer, was man durch einfaches Einsetzen (den Term aus der ersten Gleichung für y in die zweite Gleichung) allgemein beweisen kannst. Das kannst du bestimmt selbst.