Relation mit Betragsfunktion. ∀x,y∈M:xRy: ⇔ΙxΙ=ΙyΙ.

Question

Aufgabe:

Sei M= {-2,-1,0,1,2} und eine Relation R definiert mit ∀x,y∈M:xRy: ⇔ΙxΙ=ΙyΙ.

Dabei sei dran erinnert, dass ΙxΙ die bekannte Betragsfunktion auf ℝ ist, für die gilt

IxI ={ x für x≥0,

            -x für < 0 }

A) Bestimmen Sie die Relation R

B) Zeigen Sie R ist eine Äquivalenzrelation

C) Geben Sie Äquivalenzklassen für R in M an

D) Bestimmen Sie die Quotientenmenge M/R

E) Zeigen Sie: M/R ist eine Zerlegung von M

F) Zeichnen Sie den Relationsgraphen und das Pfeildiagramm zu R

Answer 1

A) Bestimmen Sie die Relation R={ (-2;2),(2;-2),(2;2),(-2;-2),(-1;1),(1;-1),(1;1),(-1;-1),(0;0) }

B) Zeigen Sie R ist eine Äquivalenzrelation

(i) reflexiv, weil {(2;2),(-2;-2),(1;1),(-1;-1),(0;0) } ⊆  R

(ii) symmetrisch, weil immer wenn |x| = |y| gilt, dann auch |y| = |x|  .

(iii) transitiv  |x| = |y| und |y| = |z| ==>  |x| = |z|
 
C)Geben sie Äquivalenzklassen für R in M an

Gibt drei Stück

{ (-2;2),(2;-2),(2;2),(-2;-2) }

{ (-1;1),(1;-1),(1;1),(-1;-1)}

{ (0;0) }

Comments

Vielen Danke :)