n
∏ (1-1/i) = ?
i=2
Rechne doch mal ein paar aus, dann siehst du für n=2 kommt 1/2 raus
für n=3 kommt 1/3 raus ( kannst du nämlich kürzen)
für n=4 kommt 1/4 raus etc
Also ist das ? schon mal 1/n
Induktionsbeweis ist klar ???? ach ne, siehe unten
bei 2) kannst du auch schnell sehen, dass ? = n/2 ist
bei 3 muss man schon etwas genauer schauen und hat dann
(n^2+n-2) / (2n(n-2) )
beweis mach ich mal bei 1 vor:
Ind. anfang (n=2) Produkt von i=2 bis 2 ist nur ein Faktor, nämlich (1 - 1/2) = 1/2
hier stimmt die Formel.
Induktionsvor. Gelte die Formel für ein n: also prod bis n hat das Ergebnis 1/n
dann muss die Gültigkeit für n+1 nachgewiesen werden, das geht so:
Das Produkt bis n+1 ist das gleiche wie das Produkt bis n und dann mal den letzten faktor
also prod. bis n * (1- 1/(n+1) ) [Das i ist ja jetzt das n+1]
Das Produkt bis n ist ja aus der Ind.vor. bekannt, das setzen wir jetzt ein, dann ist es
1/n * (1- 1/(n+1) ) = 1/n * n/(n+1) = 1 / (n+1) und das soll ja bei der
Formel für n+1 auch rauskommen. Also q.e.d.
So ähnlich geht es auch bei 2) und 3)
