Aufgabe:
Zeige, dass \( \sum\limits_{k=0}^{n}{w^{2}} \) = \( \frac{Im(w^{n+1}}{Im(w)} \)·\( w^{n} \) gilt mit |w| = 1 und w ∉ {-1,1}. Beachte dass für |w| = 1 gilt, dass das komplex konjugierte von w gleich dem Inversen von w.
Ansatz: Vollständige Induktion.
Induktionsanfang & Voraussetzung sind klar, im Induktionsschritt scheitere ich:
\( \sum\limits_{k=0}^{n+1}{w^{2}} \) = \( \sum\limits_{k=0}^{n}{w^{2}} \) + \( w^{2·(n+1)} \) = \( \frac{Im(w^{n+1}}{Im(w)} \)·\( w^{n} \) + \( w^{2·(n+1)} \) nach IV
Allerdings erkenne ich hier nicht, wie ich weiter umformen muss/kann, um \( \frac{Im(w^{n+2}}{Im(w)} \)·\( w^{n+1} \) zu erhalten
Ich weiß, dass ich den Himweis über das Inverse/ komplex Konjugierte noch nicht verwendet habe, ich erkenne allerdings auch noch nicht, warum dieser Hinweis hilfreich ist
