Beweis zu Offenheit und Abgeschlossenheit

Question

Ich sollte zwei Beweise machen.

Frage: Habe ich das korrekt gemacht?:

Hier meine Ansätze mit den entsprechenden Sätzen:

1. Ich sollte zeigen, das wenn zwei Mengen A und B aus dem Körper |K abgeschlossen sind, dann auch dessen Vereinigungsmenge abgeschlossen ist.

Mein Ansatz: Zuerst einmal soll vorausgesetzt A,B abgeschlossen sein, d.h. nach Definition jeder beliebiger Häufungspunkt x ist in A bzw. B der enthalten.

Dadurch das x also in A,B enthalten ist, muss gezeigt werden das x auch in der Vereinigung liegt. Da A u B Obermenge von A,B ist, enthält diese auch x

=> nach Definition ist die Vereinigung abgeschlossen. ✔️

2. Ich sollte auch zeigen, das wenn A und B aus |K offen sind, das dann dessen Schnitt auch offen ist.

Vorausgesetzt A,B offen => nach Definition ist K \ A und K \ B abgeschlossen.

ZZ ist: K \ A Schnitt B ist abgeschlossen <=> A Schnitt B ist offen

K \ A Schnitt B = K \ A  u   K \ B, & das ist eine Obermenge von K \ A, B, also können wir nach dem vorherigen Beweis sagen, das auch Vereinigung abgeschlossen ist <=> A Schnitt B ist offen. ✔️

Ich danke euch im voraus!

LG,

malo

Answer 1

wenn zwei Mengen A und B aus dem Körper |K abgeschlossen sind

Ein Körper reicht nicht aus um über Abgeschlossenheit zu reden.

jeder beliebiger Häufungspunkt x ist in A bzw. B der enthalten.

Von welcher Menge soll \(x\) ein Häufungspunkt sein?

Dadurch das x also in A,B enthalten ist, muss gezeigt werden das x auch in der Vereinigung liegt.

Nein, dass x auch in der Vereinigung liegt muss nicht dadurch gezeigt werden, dass x in A,B enthalten ist.

A,B offen => nach Definition ist K \ A und K \ B abgeschlossen.

Das ist eine Tautologie.

Es ist sinnlos, eine Tautologie als Voraussetzung zu verwenden.

Comments

Nach Definition (Also bei uns im Skript)

ist eine Menge X aus |K abgeschlossen, wenn jede ihrer Häufungspunkte, auch in ihr liegen.

Ich hab hier einfach die Definition genutzt. Dadurch das ja die Annahme: A,B abgeschlossen, ist => Jedes beliebige x (Häufungspunkt) ist Element von A, B.

Und dann kann man ja die Teilmengeneigenschaft nutzen und dies schlussfolgern.

Was genau passt denn an dieser Vorgehensweise nicht?

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Es ist sinnlos, eine Tautologie als Voraussetzung zu verwenden.

Das war so gar nicht gemeint. Er setzt nur voraus, dass A und B offen sind und schlussfolgert daraus. Das Problem ist hier eher sprachlicher Natur, weil einfach mit mathematischen Symbolen herumgeschmissen wird. Daher sollte man sowas sprachlich ausformulieren: Vorausgesetzt, A und B sind offen, dann folgt daraus, dass...

Man kann hier deutlich die Schwächen der strukturierten Niederschrift des Beweises sehen.

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ist eine Menge X aus |K abgeschlossen, wenn jede ihrer Häufungspunkte, auch in ihr liegen.

Das ist auch die Definition mit der ich arbeite.

Aber was ist denn ein Häufungspunkt?

Das war so gar nicht gemeint.

Das habe ich vermutet.

@Txman Wie Apfelmännchen bereits in seinem Kommentar erwähnt hat: "Das Problem ist hier eher sprachlicher Natur, weil einfach mit mathematischen Symbolen herumgeschmissen wird. Daher sollte man sowas sprachlich ausformulieren." Dem schließe ich mich vollumfänglich an.

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Was genau passt denn an dieser Vorgehensweise nicht?

Dass wenn du sagst, dass jeder beliebige Häufungspunkt x in A bzw. B enthalten ist, ich immer noch nicht weiß, von welcher Menge dieses x ein Häufungspunkt ist.

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Die Grundidee ist in Ordnung, aber der Beweis ist unverständlich formuliert. Er muss eindeutig und widerspruchsfrei sei. Also logisch. Arbeite präzise und schmier nicht einfach etwas hin. Das ist sowohl einfacher für dich als auch für andere, die das lesen sollen. Auch ist unklar, was A,B immer sein soll. Im Deutschen nutzt man eine durch Komma getrennte Aufzählung erst ab 3 Dingen. Hier wäre A und B also die bessere Formulierung. Arbeite daran und lies dir deinen eigenen Beweis nochmal durch. Hier hilft übrigens gute Fachliteratur.