(a) \( p_{k-1}(\widehat{\lambda}) p_{k+1}(\widehat{\lambda})<0 \), falls \( p_{k}(\widehat{\lambda})=0 \) für ein \( k \in\{1, \ldots, n-1\} \).
(b) \( p_{n}^{\prime}(\widehat{\lambda}) p_{n-1}(\widehat{\lambda})<0 \), falls \( p_{n}(\widehat{\lambda})=0 \);
bzw. Zeigen Sie für (b), dass die Nullstellen von \( p_{k} \) reell und einfach sind und die Nullstellen von \( p_{k-1} \) trennen. Hierfür ist (a) nützlich.
Dabei ist \( p_{k}(\lambda):=\operatorname{det}\left(A_{k}-\lambda I\right) \) und \( p_{0}(\lambda):=1 \)
