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Aufgabe: Bestimmen Sie graphisch den Vektor \( \overrightarrow{b_{a}} \) sowie den Vektor \( \vec{b}-\overrightarrow{b_{a}} \) und schätzen Sie deren Koordinaten
aus der Graphik. Hinweis: Rechnerische Lösungen werden nicht gewertet.

Gegeben seien die folgenden Vektoren:
\( \vec{a}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 3 \end{array}\right), \quad \vec{b}=\left(\begin{array}{r} -2 \\ 3 \end{array}\right), \quad \vec{c}=\left(\begin{array}{r} 0 \\ -1 \end{array}\right) \)


Problem/Ansatz:

Hi Leute,

brauche dringend Hilfe bei dieser Aufgabe. Ich verstehe nicht was der Vektor →ba sein soll. Oder wie man darauf kommt ?

Würde mich sehr über eine Antwort freuen.

Liebe Grüße

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\( \overrightarrow{b_{a}} \) ist die senkrechte Projektion (rot)  von b auf die Richtung von a.

Etwa so:  ~draw~ vektor(0|0 1|3 "a");vektor(0|0 -2|3 "b");vektor(-2|3 2.7|-0.9 "ba");zoom(10) ~draw~

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Der rote Pfeil ist nicht \(\vec b_{\vec a}\), sondern \(-(\vec b-\vec b_{\vec a})\)

Stimmt, da hatte ich mich vertan. ba ist der Teilpfeil des blauen

von (0,0) bis zur Spitze des roten.

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Aloha :)

Wenn du diese Aufgabe verstehst, hast du ganz viel über Vektorrechnung verstanden.

Daher versuche ich mal eine ausführliche Erklärung.

blob.png

Der Vektor \(\vec b\) in dem Bild entspricht dem Vektor \(\overrightarrow{AB}\). Um von \(A\) nach \(B\) zu gelangen, könntest du auch zuerst den Vektor \(\overrightarrow{AD}\) entlang gehen und danach den Vektor \(\overrightarrow{DB}\) entlang. Der Vektor \(\vec b_\parallel\coloneqq\overrightarrow{AD}\) ist die Komponente von \(\vec b\), die parallel zum Vektor \(\vec a\) verläuft. Und die Komponente \(\vec b_\perp\coloneqq\overrightarrow{DB}\) ist die Komponente von \(\vec b\), die senkrecht auf dem Vektor \(\vec a\) steht:$$\underbrace{\overrightarrow{AB}}_{\small \vec b}=\underbrace{\overrightarrow{AD}}_{\small\vec b_\parallel}+\underbrace{\overrightarrow{DB}}_{\small \vec b_\perp}$$

Die zu \(\vec a\) parallele Komponene \(\vec b_\parallel\) nennt man auch "die Projektion von \(\vec b\) auf \(\vec a\)" und schreibt statt der parallelen Striche den Vektor \(\vec a\) hin, auf den projeziert wird: \(\green{\vec b_{\vec a}=\vec b_\parallel}\)

Damit ist dann auch klar, was der Vektor \((\vec b-\vec b_{\vec a})\) ist. Wenn du vom Vektor \(\vec b=\overrightarrow{AB}\) den Vektor \(\vec b_a=\overrightarrow{AD}\) subtrahierst, bleibt der zu \(\vec a\) senkrechte Anteil \(\overrightarrow{BD}\) von \(\vec b\) übrig:$$\underbrace{\overrightarrow{AB}}_{\small\vec b}-\underbrace{\overrightarrow{AD}}_{\small\vec b_\parallel}=\underbrace{\overrightarrow{DB}}_{\small\vec b_\perp}\quad\Longleftrightarrow\quad\red{\vec b_\perp=}\vec b-\vec b_\parallel=\red{\vec b-\vec b_{\vec a}}$$

Berechnet wird die Projektion \(\vec b_{\vec a}\) durch 2-malige Multiplikation von \(\vec b\) mit dem normierten Einheitsvektor \(\vec a^0\) von \(\vec a\). Die Rechnung wäre also:$$\vec a^0=\frac{1}{\|\vec a\|}\,\vec a=\frac{1}{\sqrt{1^2+3^2}}\binom{1}{3}=\frac{1}{\sqrt{10}}\binom{1}{3}$$$$\green{\vec b_a}=\left(\vec b\cdot\vec a^0\right)\cdot\vec a^0=\left(\binom{-2}{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{10}}\binom{1}{3}\right)\cdot\frac{1}{\sqrt{10}}\binom{1}{3}=\frac{7}{10}\binom{1}{3}=\green{\binom{0,7}{2,1}}$$$$\red{\vec b-\vec b_{\vec a}}=\binom{-2}{3}-\green{\binom{0,7}{2,1}}=\red{\binom{-2,7}{0,9}}$$

Du sollst aber nicht rechnen, sondern zeichnen und abschätzen (bzw. messen):

blob.png

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