Beweis Vektorraum V wird durch 2 Vektoren aufgespannt

Question

Aufgabe:

Guten Tag ich komme bei einer Uniaufgabe leider nicht weiter. Die Aufgabe lautet:

Sei R^3 als R-Vektorraum zu betrachten. a) Sei V := Span_R({(1,2,3),(-1,1,1)}). Beweisen Sie, dass es α₁,α₂,α₃ ∈R gibt, so dass V = {(x₁,x₂,x₃)∈R³ : α₁x₁ + α₂ x₂ +α₃ x₃ = 0}

b) Sei V := Span_R({(1,2,-5)}). Beweisen Sie, dass es α₁α₂α₃β₁β₂β₃∈R gibt, so dass V= {(x_{1 ,}x_2,x₃)∈R³ :α₁x₁+α₂x₂+α₃x₃=0 und β₁x₁+β₂x₂+β₃x₃ =0}  

Problem/Ansatz:

Als Ansatz hatte ich, dass man zeigen muss, dass man jeden Vektor in V als Linearkombination von Span_R() darstellen kann, ich hab aber leider gar keine Idee wie man das hier machen würde, es wäre super, wenn einer von euch das mal vormachen könnte

Answer 1

a) die beiden Vektoren spannen eine Ebene durch den Ursprung auf. Kannst du dich noch an die Koordinatenform einer Ebene erinnern? Tipp: Normalenvektor und Kreuzprodukt.

b) der Vektorraum beschreibt eine Gerade durch den Ursprung. Gesucht sind jetzt zwei Ebenen in KF, die diese gerade als Schnittgerade haben.

Answer 2

a) Die Aussage bedeutet, es gibt einen Vektor \(\vec \alpha\in \R^3\), so dass

für \(U:=span \{\vec \alpha\}\) gilt: \(U=V^T\). Gesucht ist also ein \(\vec \alpha\), der senkrecht auf allen Vektoren aus \(V\) steht, d.h. der auf den beiden \(V\) aufspannenden Vektoren senkrecht steht. Stichwort: Kreuzprodukt

b) Hier sind zwei Vektoren \(\vec \alpha, \vec \beta\) gesucht. Analog wie vorher. Finde also zwei lin. unabh. Vektoren, die senkrecht auf dem \(V\) aufspannenden Vektor stehen. Hier gibt es viele Möglichkeiten, fang mal an. Wir suchen also zwei lin. unabh. Lösungen der Gleichung \(\gamma_1+2\gamma_2-5\gamma_3=0\).

Comments

Vielen Dank für deine Hilfe, bildlich konnte ich mir das gar nicht wirklich vorstellen, dass es senkrecht auf dieser Ebene stellen muss, dass hat mir aber sehr geholfen und ich konnte a) und b) dann ohne Probleme lösen. Vielen Dank!