Sei (vj)j∈J eine nichtleere Familie aus einem K -Vektorraum V.
Es bezeichne K (J) die Menge aller Familien (αj) j∈J aus K derart, dass höchstens endlich viele der α j, j∈J , von 0 verschieden sind, sowie f : K ( J ) → V die gemäß ( α j ) j ∈ J ↦∑ j ∈ J (αj vj) definierte Abbildung. Weisen Sie die Gültigkeit folgender Aussagen nach:
(a) Es ist ( v j ) j ∈ J genau dann ein Erzeugendensystem von V , wenn f surjektiv ist.
(b) Es ist ( v j ) j ∈ J genau dann linear unabhängig, wenn f injektiv ist.
(c) Es ist ( v j ) j ∈ J genau dann linear unabhängig, wenn f injektiv ist.
Ich hab leider keine Ahnung wie man das nachweisen kan...
