Extremwert einer Kostenfunktion

Question

Eine quaderförmige Kiste soll ein Volumen von einem Liter einschließen. Die Materialkosten der Kiste sind durch die Flächen gegeben, wobei der stabile Boden pro Flächeneinheit viermal so teuer ist wie Seitenwände und Deckel. Bestimmen Sie die optimalen Abmessungen der Kiste, also die Werte für Breite, Länge und Höhe, die die Materialkosten minimiert.

Answer 1

Die gesuchte Kiste hat eine rechteckige Grundfläche. Da die Grundfläche ein starker Kostenfaktor ist, sollte sie minimal sein. Ein Rechteck mit minimalem Flächeninhalt bei fester Flächengröße ist ein Quadrat.

Hier ist a²·h=1 [Liter] oder (*) h=\( \frac{1}{a^2} \)

Kosten für den Boden: 4·a² (Wenn eine Flächeneinheit eine Geldeinheit kostet.)

Kosten für den Deckel a²

Kosten für die 4 Wände: 4·ah. Hier (*) eingesetzt: \( \frac{4}{a} \)

Gesamtkosten K(a)=5a²+ \( \frac{4}{a} \).

Positive reelle Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen und in (*) einsetzen.

Comments

Ein Rechteck mit minimalem Flächeninhalt bei gegebener Flächengröße ist ein Quadrat.

Die Flächengröße ist aber nicht gegeben.

Positive reelle Nullstelle bestimmen und in (*) einsetzen.

Du meinst die Nullstellen der 1. Ableitung,oder?

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Danke ggT22 für deinen Hinweis auf den vergessenen Begriff '1. Ableitung', den habe ich eingefügt.

Dass die Größe der Grundfläche nicht gegeben ist, ändert nichts daran, dass sie quadratisch sein muss: Da die Grundfläche ein starker Kostenfaktor ist, sollte sie minimal sein. Ein Rechteck mit minimalem Flächeninhalt bei fester Flächengröße ist ein Quadrat.

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Dass die Größe der Grundfläche nicht gegeben ist, ändert nichts daran, dass sie quadratisch sein muss:

Das stimmt.

Dann ist a also 0,737 dm.

Warum kommt bei mir etwas anderes raus? a= 1,077 ??

Wo habe ich einen Fehler gemacht? Ist der Ansatz komplett falsch oder nur

(konzentrations)fehlerhaft?

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Dann ist a also 0,737 dm.

Es ist \(a=2\cdot \sqrt[3]{50}\,\text{cm} \approx 7,37 \, \text{cm} \)

Ist der Ansatz komplett falsch oder nur (konzentrations)fehlerhaft?

Kann man "ein bisschen" falsch sein? Ich meine, das ist binär.

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ggT22, dein Ansatz K(bc) = 5/c+ 2/b+ 2bc ist richtig. (Es geht um Kosten und nicht um Oberfläche). Wenn man ihn konsequent zu Ende rechnet, kommt als Grundkantenlänge a=\( \frac{\sqrt[3]{50}}{5} \) heraus, aber bitte nicht a= 1,077. Das Gleichheitszeichen bei gerundeten Werten gilt meistens nicht.

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Wenn ich die Oberfläche minimiere, minimiere ich doch auch die Kosten, oder?

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Ja, allerdings mit unterschiedlichen Funktionen und verschiedenen Ergebnissen. Oberflächenfunktionen werden meistens mit O beschrieben und Kostenfunktionen mit K. Aber du hast recht: Name ist Schall und Rauch umnebelnd Himmelsglut.

Answer 2

Länge : Breite : Höhe = 2 : 2 : 5

Comments

Wenn es wie hier um 1 Liter geht, dann muss man jeden Faktor noch mit \(\sqrt[3]{50} \) multiplizieren um die Kantenlänge in cm zu erhalten.

Answer 3

V= a*b*c = 1 dm^3

a = 1/(bc)

O = 2(ab+ac+bc)

Da die Bodenfläche 4-mal so teuer ist wie die Restflächen, ergibt sich:

4ab+ ab +2(ac+bc) = 5ab+2ac+2bc

O(bc) = 5/c+ 2/b+ 2bc

https://www.wolframalpha.com/input?i=minimize+5%2Fc%2B1%2Fb%2B2bc

Comments

Ich entnehme Deiner Antwort Kosten von ca. 9,1 (im Output bei Deinem Link steht 6,5) und meiner Antwort Kosten von ca. 8,1 (umgerechnet auf dm² zwecks Vergleichbarkeit).

Mein Minimum ist minimümmer als Dein Minimum.

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Wie hast du gerechnet? Habe ich einen Fehler gemacht?

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Ich habe so gerechnet wie man dem Link in meinem Kommentar entnehmen kann.

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Leider verstehe ich deinen Ansatz nicht. Wie kommst du auf 2:2:5 und 50^(1/3) ?

Es ist nur das V gegeben und eine Aussage über die Kosten. Es geht um 3 Unbekannte.

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V ist die Nebenbedingung.

Die Kosten bzw. (gewichtete) Fläche ist die Zielfunktion.

Werte > 9 dm² sind doch verdächtig, bei einem Würfel hast Du nur 9 (Unterseite viermal gezählt).

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Mein Wert ist 1,077, wenn ich die Werte von wolfram einsetze,

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Keine Ahnung, was Du wo einsetzt. Minimiere halt die Zielfunktion unter der Nebenbedingung. Oder morgen, wenn Du heute indisponiert bist.