Quotientenkriterium Fall unendlich

Question

Ich sollte eine Reihe auf Konvergenz untersuchen und ich habe das Quotientenkriterium angewendet. Das Problem war aber, das da beim Quotientenkriterium ♾️ als Grenzwert rauskam. Was heisst das jetzt?

Comments

Wie lautet die Reihe?

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Σ n! / e^2n

wobei die Summe von n = 0 bis unendlich geht

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n! wächst schneller als e^(2n).

(n!(n+1)/e^(2n+2)*e^(2n)/n! = (n+1)/e^2 -> oo für n -> oo

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Die Reihe ist doch für die Frage völlig unerheblich...

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Cui nocet? Vlt. interessiert es einen Mitleser.

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Die Reihe ist doch für die Frage völlig unerheblich..

So optimistisch wäre ich nicht. Manchmal sind sich FS nicht im Klaren, ob sie eine gewöhnliche Reihe oder eine Potenzreihe untersuchen.

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Die Frage ist aber, was passiert bzw. was es bedeutet, wenn beim Quotientenkriterium unendlich herauskommt. Wie der FS dazu kam, ist ja für die Beantwortung der Frage erstmal nicht relevant. Da muss man dann einfach davon ausgehen, dass bis dahin alles richtig ist. Ob das QK überhaupt anwendbar ist und ob das der richtige Weg ist, spielt ja für diese konkrete Frage keine Rolle. Deswegen schrieb ich in meiner Antwort ja auch, dass ich davon ausgehe, dass seine Rechnung stimmt.

Answer 1

Unter der Annahme, dass deine Rechnung stimmt: Der Betrag ist größer gleich 1, also ist die Reihe divergent. Man sollte die Aussage des Kriteriums auch kennen, wenn man es benutzt.

Comments

Text erkannt:

b)

das war mein Rechenweg

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Das wäre auch richtig, wenn im Nenner \(e^{2n}\) stehen würde. Tut es aber nicht, da steht \(e^{n^2}\), und das ist zu lesen als \(e^{(n^2)}\), und dann sieht die Sache ganz anders aus. Nämlich wie?

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Text erkannt:

\( \begin{array}{l} \text { b) } \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{n !}{e^{n^{2}}} \text { konvergiert } \stackrel{\text { Q.K. }}{\Longleftrightarrow} \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left|\frac{\frac{(n+1)}{e^{\left(n+2^{2}\right.}}}{\frac{n !}{e^{n^{2}}}}\right| \\ \begin{array}{l} \left|\frac{\frac{(n+1) !}{e^{(n+1)^{2}}}}{\frac{n !}{e^{n^{2}}}}\right|=\left\lvert\, \frac{(n+1) ! e^{n^{2}}}{\frac{n ! e^{(n+1)^{2}}}{\geqslant 0}}=\frac{n !(n+1) e^{n^{2}}}{n ! e^{n^{2}} e^{2 n} e}=\frac{n+1}{e^{2 n+1}} \leqslant \frac{n+1}{e^{n}} \xrightarrow{n \rightarrow \infty} 0\right. \\ <1 \end{array} \\ \end{array} \)
\( \Longrightarrow \) Die Reihe konvergiert

Ist das jetzt so richtig?

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Ja, auch gut und sauber aufgeschrieben.

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Danke sehr! :)