Quotientenkriterium auf eine Reihe anwenden

Question

Aufgabe:

Überprüfen Sie die folgende Reihe auf Konvergenz:

$$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2^k\cdot k!}{k^k}$$

Problem/Ansatz:

Ich habe nun das Quotientenkriterium benutzt und erhalte, dass der Betrag des Quotienten zweier aufeinanderfolgen \(a_k\) gegen \(\frac{2}{e}\) konvergiert. Ich bin mir allerdings trotzdem unsicher, ob es jetzt ausreichend ist zu sagen, dass der Grenzwert kleiner als 1 ist und damit die Konvergenz nachgewiesen ist. In der Uni haben wir es eigentlich anders gelernt. Hätte jemand nochmal eine exaktere Begründung dafür, dass die Reihe nun konvergiert? Bzw. würde ich gern nochmal wissen, warum es reicht (oder auch nicht) einfach den Grenzwert des Betrages des Quotienten zu untersuchen.

Vielen Dank im voraus!

Comments

Wie habt Ihr es in der Uni gelernt?

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Du hast den Grenzwert berechnet und da dieser kleiner 1 ist konvergiert die Reihe.

Schwierig wäre es, wenn der Grenzwert 1 ist, dann macht das Quotientenkriterium keine Aussage.

Aber auch mich würde interessieren, wie ihr es gelernt bzw. notiert habt.

Answer 1

Da der Grenzwert \(=\frac2e<1\) ist, ist der Quotient ab einem \(n_0\) dann \(<\frac2{2.7}<1\) (z.B.). Damit konvergiert die Reihe \(\sum\limits_{i=n_0}^\infty a_i\) und damit auch \(\sum\limits_{i=1}^\infty a_i\) (denn die zugehörigen Partialsummen unterscheiden sich nur um eine Konstante).

Comments

2/2.8 oder doch nur 2/2.7 ?

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Ja natürlich, danke, ist korrigiert.

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Ahhh du hast Recht. In der Uni hieß es eben, dass die Reihe konvergiert, wenn ein \(n_0\) existiert, so dass \(\lvert\frac{a_{n+1}}{a_n}\lvert <q\) für alle \(n>n_0\) wobei \(q\in(0,1)\). Ich hatte die Grenzwertdefinition nicht mehr im Kopf! Vielen Dank !