Quotientenkriterium auf Reihe anwenden

Question

Ich soll die Reihe auf Konvergenz prüfen.

n=0 -> ∞ ∑1/n!

Mein Ansatz wäre es das Quotientenkriterium anzuwenden:

\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{\left|\frac{1}{(n+1) !}\right|}{\left|\frac{1}{n !}\right|}=\left|\frac{n !}{(n+1) !}\right|=|n+1| \rightarrow \infty \)

Ist das soweit richtig?

Answer 1

Der letzte Schritt ist nicht ganz richtig.

(n+1)! = n! * (n+1)

Dadurch kürzt sich n! raus und übrig bleibt 1/(n+1)

Wogegen geht der Bruch nun für n → ∞? Er geht gegen 0.

Hier übersichtlicher: $$\left| \frac { n! }{ n!\quad *\quad (n+1) }  \right| =\quad \left| \frac { n! }{ n! } *\quad \frac { 1 }{ (n+1) }  \right| =\left| \frac { 1 }{ (n+1) }  \right| $$