ich habe zu den drei Aufgaben eine Frage und zwar kann ich bei den drei Reihen den Quotientenkriterium anwenden?

Question

Aufgabe:

a) \( \sum \limits_{k=2}^{\infty} \frac{1}{3^{k-1}} \)
b) \( \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{2^{k}} \)
c) \( \sum \limits_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2^{k}}+\frac{(-1)^{k}}{3^{k}}\right) \)

Problem/Ansatz:

Hallo,

ich habe zu den drei Aufgaben eine Frage und zwar kann ich bei den drei Reihen den Quotientenkriterium anwenden? und wie ist es mit der Reihe (-1)^k da sie altanierend ist.

Könnte mir jemand dazu ein Ansatz geben?

Answer 1

Hallo

eigentlich brauchst du kein Kriterium, es sind alles geometrische Reihen, die letzte die Summe von zweien.

geometrische Reihen  in jeder Form  zu erkennen ist wirklich wichtig in a) z.B 3 vor die Summe ziehen, in b )(-1/2)^k schreiben

Gruß lul

Comments

Okay, was meinen sie die 3 vor die summe ziehen und bei (b) weiß ich gar nicht mehr.

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hallo

1/(3k-1)=3*(1/3)^k

geometrische Reihe:  ∑q^n dabei kann negativ oder positiv sein, Konvergenz nur, wenn |q|<1 Summenformel bis oo kennst du?

also in b)  q=-1/2

in c) q₁=1/2, q₂=-1/3

Gruß lul

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Berechnet man so den Grenzwert der Geometrischen Reihe?

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Der GW, wenn die summe bei 0 anfängt ist 1/(1-q) deshalb versteh ich deine Frage nicht.

lul

Answer 2

a)

\( \sum \limits_{k=2}^{\infty} \frac{1}{3^{k-1}}= \)\( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{3^{k}}= \)\( \frac{1}{2}\)

b)

\( \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{2^{k}}= 1+ \sum \limits_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{2^{k}}= \)

\(1- \frac{1}{3} =\frac{2}{3}\)

c)

 \( \sum \limits_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2^{k}}+\frac{(-1)^{k}}{3^{k}}\right) =\)

\( 2+\sum \limits_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2^{k}}+\frac{(-1)^{k}}{3^{k}}\right)=\)

 \(2+1-\frac{1}{4} =2 \frac{3}{4}  \)