Aufgabe:
a) ∑k=2∞13k−1 \sum \limits_{k=2}^{\infty} \frac{1}{3^{k-1}} k=2∑∞3k−11b) ∑k=0∞(−1)k2k \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{2^{k}} k=0∑∞2k(−1)kc) ∑k=0∞(12k+(−1)k3k) \sum \limits_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2^{k}}+\frac{(-1)^{k}}{3^{k}}\right) k=0∑∞(2k1+3k(−1)k)
Problem/Ansatz:
Hallo, ich habe zu den drei Aufgaben eine Frage und zwar kann ich bei den drei Reihen den Quotientenkriterium anwenden? und wie ist es mit der Reihe (-1)k da sie altanierend ist.Könnte mir jemand dazu ein Ansatz geben?
Hallo
eigentlich brauchst du kein Kriterium, es sind alles geometrische Reihen, die letzte die Summe von zweien.
geometrische Reihen in jeder Form zu erkennen ist wirklich wichtig in a) z.B 3 vor die Summe ziehen, in b )(-1/2)k schreiben
Gruß lul
Okay, was meinen sie die 3 vor die summe ziehen und bei (b) weiß ich gar nicht mehr.
hallo
1/(3k-1)=3*(1/3)k
geometrische Reihe: ∑qn dabei kann negativ oder positiv sein, Konvergenz nur, wenn |q|<1 Summenformel bis oo kennst du?
also in b) q=-1/2
in c) q1=1/2, q2=-1/3
Berechnet man so den Grenzwert der Geometrischen Reihe?
Der GW, wenn die summe bei 0 anfängt ist 1/(1-q) deshalb versteh ich deine Frage nicht.
lul
a)
∑k=2∞13k−1= \sum \limits_{k=2}^{\infty} \frac{1}{3^{k-1}}= k=2∑∞3k−11=∑k=1∞13k= \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{3^{k}}= k=1∑∞3k1=12 \frac{1}{2}21
b)
∑k=0∞(−1)k2k=1+∑k=1∞(−1)k2k= \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{2^{k}}= 1+ \sum \limits_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{2^{k}}= k=0∑∞2k(−1)k=1+k=1∑∞2k(−1)k=
1−13=231- \frac{1}{3} =\frac{2}{3}1−31=32
c)
∑k=0∞(12k+(−1)k3k)= \sum \limits_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2^{k}}+\frac{(-1)^{k}}{3^{k}}\right) =k=0∑∞(2k1+3k(−1)k)=
2+∑k=1∞(12k+(−1)k3k)= 2+\sum \limits_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2^{k}}+\frac{(-1)^{k}}{3^{k}}\right)=2+k=1∑∞(2k1+3k(−1)k)=
2+1−14=2342+1-\frac{1}{4} =2 \frac{3}{4} 2+1−41=243
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