Konvergenz eines Integrals mit der Exponentialfunktion: Funktion ^{∞}∫_(0) e^ (-x^{a}) dx mit a > 0

Question

Gegeben ist die Funktion ^∞∫₀ e^ (-x^{a}) dx mit a > 0

ich habs mit substitution probiert: y = -x^a

daraus folgt -ax^{a-1} dx = dy    d.h  dx = 1/ (-ax^{a-1}) dy = -x/(-a*y)

also ^-∞∫₀e^y * x/(a*y)

jetzt komm ich nicht weiter

außerdem soll ich zeigen dass sie den wert  1/a Γ(1/a) hat

EDIT (Lu): Habe in Funktion ^∞∫₀ e^ (-x^{a}) dx mit a > 0 einen Abstand noch dem Caret-Zeichen eingefügt, da der Exponent nicht richtig dargestellt wurde. 

Comments

Ich schaffe die Integration nicht.
Mein Matheprogramm auch nicht.
Wolfram Alpha bringt einen Lindwurm zustande.

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Situ: Kennst du die Ableitung von: 1/a Γ(1/a)  ?

Ihr müsstet ja die Gammafunktion (als Integral) kennen. 

Damit solltest du wohl antworten.

Die Existenz des uneigentlichen Integrals kannst du mit einer beliebigen konvergenten Majorante zeigen. Mach, wenn nötig, Fallunterscheidung. 

Ist das nicht zumindest eine sehr ähnliche Frage: https://www.mathelounge.de/111471/integral-mit-gammafunktion-gross-gamma-berechnen-int-bx-dx

? 

Answer 1

Die Gammafunktion müsst Ihr aber schon gehabt haben!

integrate e^{-x^n}dx = -(Gamma2(1/n, x^n))/n ; x>=0; n>0

lim x->inf Gamma2(1/n, x^n)/n = 0

lim x->0 Gamma2(1/n, x^n)/n =Gamma(1/n)/n

(mehr unter http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/Gamma2/06/02/ShowAll.html

dort auch weitere Reihen und Integral-Representationen

http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/Gamma2/07/ShowAll.html)

also Differenz:

integrate e^{-x^n}dx,x=0...inf = 0-[-Gamma(1/n)/n]=Gamma(1/n)/n

Test: integrate e^{-x^3}dx,x=0...inf =Gamma(4/3)=Gamma(1/3)/3=0.89...

integrate e^{-x^Pi}dx,x=0...inf = Gamma(1/Pi)/Pi

alles richtig