Konvergenz von uneigentlichen Integral: ^{∞} ∫_(0) x*sin(x) dx

Question

Hi leute 
komme derzeit nicht weiter (vllt auch irgendwo schon ein fehler drin oder total falscher ansatz ) hoffe jemand kann mal kurz drüber schauen 

∞

∫  x*sin(x) dx 

0

hier wollte ich nun das cauchy -kriterium anwenden und da  lim (x->0)  für x*sin(x) = 0 ist müsste ich es nur noch für unendlich überprüfen :

Für alle 0<u<v gilt  :
 

  _{v                                             v   v}                      (dreiecksungl.)                        v

| ∫  x*sin(x) dx | = |[ -cos(x)*x] - ∫ -cos(x) dx |   ≤   |-cos(v)*v + cos(u)*u| +  ∫  | -cos(x) | dx
  ^{u                                             u  u                                                                        u}

da cos und sin im betrag maximal 1 ergibt

≤  v+u + | -sin(v)+sin(u)|  ≤  v+u+2      aber was nun ? 

Hoffe jemand kann kurz helfen 


Michael

Answer 1

$$\text{definiere }A_n=\int_0^{2\pi n}x\sin x \,\mathrm dx\text{ für }n\in\mathbb N.$$$$\text{Es gilt }A_n=\sin x-x\cos x\bigg\vert_0^{2\pi n}=-2\pi n.$$Offenbar ist \(A_n\) nicht nach unten beschränkt, daher existiert das uneigentliche Integral nicht.