Wie löse ich dieses uneigentliche Integral ∫0∞ x·e-x dx?

Question

wie löse ich das uneigentliche Integral$$\int_{0}^{\infty} x*e^{-x}$$ ?

Als Stammfunktion bekomme ich raus: [-x*e^x]-[-e^-x] jeweils von 0 bis unendlich.

Dann muss ich ja den limes gegen unendlich bestimmen (erstmal für die 1. Klammer) aber da hängt es !:

$$\lim\limits_{x\to\infty} -x*e^{-x} = \lim\limits_{x\to\infty} \frac{e^{-x}}{-1/x}$$ Habe es auf die Form gebracht, dass 0/0 gegeben ist, damit ich l'hospital anwenden kann. Aber dann passiert immer das selbe, dass ich immer l'hospital von neu anwenden kann ohne Ende.

Answer 1

Versuche:

-x * e^-x = -x / e^x

und nun Hospital.

Answer 2

dass die e-Funktion Polynome unterdrückt, sollte man eigentlich wissen.

Ansonsten schreibe als

$$-\frac{x}{e^{x}}$$