Uneigentliches Integral berechnen ∫_{0}^{∞} 1/(1+x^2) dx

Question

Ich komme bei einem Integral nicht weiter. Ich brauche die Lösung und den Lösungsweg wenn möglich.

Ich weiß z.B. das $$ \int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+x^2} dx = arctan(x) + C $$  ist, jedoch will ich das ohne dieses Wissen integrieren. Auch solche sachen wie $$ \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x}  dx = ln(x) $$  will ich aussen vor lassen. Ich will also nur stumpf integrieren. Jetzt bin ich soweit bisher gekommen:

$$ \int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+x^2} dx = \lim\limits_{a\to\infty} \int_{0}^{a} \frac{1}{1+x^2} dx $$ 

Dann durch Substitution:

$$ \lim\limits_{a\to\infty} \int_{0}^{a} \frac{1}{u} * \frac{du}{2x} = \lim\limits_{a\to\infty} \int_{0}^{a} \frac{1}{2x} * \frac{2}{u^2} du $$ 

Aber dies ist soweit ich sagen kann nicht richtig. Mir ist danach noch aufgefallen, dass wenn man meinen Weg nimmt, es gut wäre noch einen Limes zu benutzen undzwar für die 0.

Mein Ergebnis am Ende sah dann so aus: $$ \lim\limits_{a\to\infty}\lim\limits_{b\to0} \frac{1}{2a} * \frac{2}{(1+a^2)^2} - \frac{1}{2b} * \frac{2}{(1+b^2)^2}$$

Das kommt allerdings nicht an arctan(x) ran.

Ich brauche die richtige Lösung mit dem Weg.

Comments

Eine logarithmische Stammfunktion
liegt vor falls die zu integrierenden
Funktion ein Bruch ist und im Zähler die
Ableitung des Nenners steht

Beispiel
1 / x
x ´= 1

Also ln ( x )

Beim Ableiten gilt
[ ln ( term ) ] ´ = term ´ / term

Answer 1

hier  wird  ∫ 1 / (1+x² ) dx   mit der Substitution  x = tan(u)  berechnet:

  (in der 3. Zeile:  dx = u' · du , das anfangs fehlende du wird im Video später eingefügt )

Substitutionen durch rationale Terme kannst du wohl vergessen.

Gruß Wolfgang

Answer 2

Ich brauche die Lösung .

Diese ist π/2.

Comments

arctan(obere grenze) - arctan(untere grenze) = 1,57 = pi/2

Also quasi lim a->unendlich arctan(a) - arctan(0)

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geschrieben dann so:

Answer 3

Ich weiß z.B. das

$$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+x^2} dx = arctan(x) + C $$

Das ist  falsch.

Ich will also nur stumpf integrieren

Dann verwende, dass arctan(x)' = 1/(1+x^2) und setze die Grenzen richtig ein. Bevor man integrieren lernt, lernt man ableiten, damit man sich Arbeit spart.