Überprüfen, ob Integral existiert: Bsp. ∫_{0}^1 cos(x) / (1+sin^2(x)) dx

Question

Aufgabe - Integrale auf Existenz überprüfen:

Zeigen Sie, dass die folgenden Integrale bzw. Grenzwerte existieren, und berechnen Sie ihren Wert.

a) \( \int \limits_{0}^{1} \frac{\cos (x)}{1+\sin ^{2}(x)} d x \)

b) \( \int \limits_{0}^{1} \frac{1}{1+\exp (x)} d x \)

c) \( \lim \limits_{z \rightarrow \infty} \int \limits_{0}^{2} x^{2} \exp (-2 x) d x \)

d) \( \lim \limits_{2 \rightarrow \infty} \int \limits_{1}^{2} \frac{\ln (x)}{x^{2}} d x \)

Answer 1

$$\int _{  }^{  }{ \frac { cos(x) }{ 1+{ sin(x) }^{ 2 } }  } dx\quad $$

=Substitution  sin(x) = u dann ist  du/dx = cos (x) also du = cos(x) dx also

Integral =$$ \int { \frac { 1 }{ 1+{ u }^{ 2 } }  } du\quad =\quad arctan(u)$$

Also ist arctan( sin(x) ) eine Stammfunktion des ursprünglichen Int.

und arctan( sin(1) ) - arctan( sin(0) ) =   arctan( sin(1) ) ungefähr   0,6995

b) 1 / ( 1+e^x ) =  ( 1 + e^x  -   e^x ) / (1 + e^x ) =   1    -     e^x / ( 1+e^x)

und der 2. Summand ist von der Form  g ' (x) / g(x) hat also Stammfkt  ln(g(x)) also

hier Stammfkt  x   -    ln ( 1 + e^x ) also Integral = ln( 2 / (e+1)) + 1

c) Da musst du 2mal partielle Integration machen, gibt am Schluss

als Stammfkt  (-x^2 / 2 - x/2 - 1/4 ) * e^-2x

d) auch partielle Integration nach dem Muster

Integral  u ' *v  =   u * v  - Integral  u * v '

mit u ' = 1/x^2 und   u = -1/x

und v =  ln(x)  und v ' = 1 / x gibt das

- 1/x * ln (x) + Integral 1/x^2  also dann - 1/x * ln (x) - 1/x als Stammfunktion.