Zeigen Sie, dass das uneigentliche Integral sin(x)/x existiert

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass das uneigentliche Integral \( \int\limits_{0}^{\infty} \) \( \frac{sin(x)}{x} \)dx existiert

Problem/Ansatz:

Wie zeigt man die Existenz dieses Integrals - es zu integrieren ist ja schon nicht ganz so einfach!

Comments

Frage gibt's schon:https://www.mathelounge.de/567349/uneigentliches-integral-konvergenz-untersuchen-int-infty.

---

Danke dir - die beantwortet es in der Tat exakt. ☺

---

es zu integrieren ist ja schon nicht ganz so einfach!

Dafür gibt es z.B. diese Seite, auch zur Kontrolle:

https://www.integralrechner.de/

Doch hier sieht das sehr schwer aus.

Der Rechner liefert die Lösung pi/2.

---

Mit diesen Rechner hätte ich es eh ausprobiert (https://www.integralrechner.de/) - trotzdem Danke

---

Die Angabe des Wertes  die Lösung pi/2 löst nicht die Aufgabe  Zeigen Sie, dass ... existiert, sondern kann allenfalls (nach eigenständiger Berechnung des Integrals) nachweisen, dass der Programmierer des Rechners hier fehlerfrei gearbeitet hat.

---

Gut zu wissen. Danke.

---

Mein Beitrag war eigentlich als eine These gemeint, über die man durchaus diskutieren kann:
Wann können von Maschinen produzierte Ergebnisse als Beweis gelten ?

---

Wann können von Maschinen produzierte Ergebnisse als Beweis gelten ?

Das ist eine interessante Frage. Maschinen können bei der Beweisführung eine wertvolle Hilfe sein. Ich habe von jemandem gelesen, dass er in einem Induktionsbeweis den Induktionsschluss geschafft hatte, aber keinen brauchbaren Induktionsanfang fand. Ein Computerprogramm lieferte diesen dann.

Die Beweisidee stammte also vom Menschen. Die Beweislücke schloss der Computer. Gerade bei Induktionsbeweisen sind digitale Werkzeige eine große Hilfe. Soll z.B. eine Summenformel durch vollständige Induktion bewiesen werden, gelingen oft Schülern notwendige Termumformungen nicht. Diese können oft von Computer-Algebra geleistet werden.

Auch in diesem Falle stammt die Beweisidee vom Aufgabenlöser und der Computer klärt Teilfragen. Neue Frage: Haben Maschinen Beweisideen?

Answer 1

∫ (0 bis ∞) sin(x)/x dx

Bilden nicht die Flächen ober und unterhalb der x-Achse eine alternierende Nullfolge. Laut dem Keks-Kriterium konvergiert diese Reihe. Über den Grenzwert macht das Kriterium keine Aussage. Braucht man aber auch für die Aufgabe nicht.

Comments

Alternierende Nullfolge allein reicht nicht aus.

---

Alternierende Nullfolge allein reicht nicht aus.

Dann halt noch die Eigenschaft, dass die Folge der Beträge (der abwechselnd positiven und negativen Beiträge) eine monoton fallende Folge bilden. Stichwort: Leibniz  https://de.wikipedia.org/wiki/Leibniz-Kriterium

(Reicht das dann ?)

---

Das sollte langen und ist ja auch offensichtlich erfüllt.