Abbildung finden zu kanonischer Basis

Question

Aufgabe:

Es sind folgende Information über die linearen Abbildungen $$f, g, h$$ gegeben:

1. $$f\left(e_{1}\right)=1, f\left(e_{2}\right)=a, f\left(e_{3}\right)=0$$

2. $$g\left(e_{1}+e_{2}\right)=3, g\left(e_{1}+e_{2}-2 e_{3}\right)=1, g\left(2 e_{1}+e_{2}-e_{3}\right)=2$$

3. $$\operatorname{Ker}(h)=\left\{\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3}: x_{1}+x_{2}+b x_{3}=0\right\}, h\left(e_{1}\right)=2$$



Finden Sie $$f\left(\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right)\right), g\left(\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right)\right), h\left(\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right)\right)$$

Problem/Ansatz:

Ich glaube f und g sollten relativ einfach sein, allerdings verstehe ich nicht genau, was mit der Schreibweise $$f\left(\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right)\right)$$ gemeint ist.

Für den ersten Teil weiß ich ja das $$f\left(\begin{array}{l}1 \\0 \\ 0\end{array}\right) = 1$$ und $$f\left(\begin{array}{l}0 \\1 \\ 0\end{array}\right) = a$$ und $$f\left(\begin{array}{l}0 \\0 \\ 1\end{array}\right) = 0$$ ist und damit wäre die Aufgabe wahrscheinlich schon fast fertig, aber wie müsste ich $$f\left(\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right)\right)$$ hier angeben?

Answer 1

Wenn du in dem Term

        \(f(x)\)

das \(x\) durch

        \(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}\)

ersetzt, dann bekommst du

      \(f\left(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}\right)\).

Comments

Ich hätte jetzt gesagt, dass das dann f(x1*e1+x2*e2+x3*e3) = x1*f(e1)+x2*f(e2)+x3*f(e3) = x1 +a*x2 wäre, aber da muss man doch sicherlich noch was machen, oder?

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Mit selbem Ansatz hätte ich dann bei g: -x2+x3 als Ergebnis.

Bei h steh ich noch bisschen aufm Schlauch, wie ich das mit dem Kern umforme.

Könnte ich x1= -x2-bx3 und x2= -x1-bx3 und x3= (-x1-x2)/b machen und damit weiter, oder ist das ein komplett falscher Ansatz?