Zu 1.) Ja, es reicht zu zeigen, dass die Spalten deiner Matrix einen vollen Rang haben.
Zu 2.) Es handelt sich um die direkte Summe zweier Untervektorräume. Du musst nun zwei Sachen zeigen:
i) \(V=\operatorname{Ker}(f)+\operatorname{Im}(f)\)
ii) \(\operatorname{Ker(f)}\cap \operatorname{Im}(f)=\{0_V\}\)
Fall Endomorphismus dass die Abb bijektiv?
Nein. Hier ist dein Vektorraum in ihrer Dimension unbekannt. \(f\) muss nicht einmal injektiv sein. Ein Beispiel: \(f:\ \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2, \ (x,y)\mapsto (x,0)\). Es gilt \(f(f((x,y)))=f((x,0))=(x,0)\), also \(f\circ f=f\). Nun gilt zb für \((3,7),(3,9)\in \mathbb{R}^2\) aber \(f((3,7))=(3,0)=f((3,9))\), sodass \(f\) nicht injektiv ist.
und Bild bzw. im bedeutet alle Element in Bild, die jeweils ein Element im Urbild zugeordnet kann, ist es surjektiv?
Nein nicht ganz. \(\operatorname{Im}\) ist halt die Menge der Elemente im Wertebereich, die von \(f\) getroffen werden, ihr also ein Urbildelement zugeordnet werden kann. Nun müssen aber nicht alle Elemente im vorgebenen Wertebereich getroffen werden, sodass zunächst nur \(\operatorname{Im}(f)\subset V\) gilt und keine Gleichheit.
