Lineare Abbildungen untersuchen

Question

Aufgabe:

…

Abbildungen auf Linearitat
Problem/Ansatz:

…

Abbildungen auf Linearitat

Untersuchen Sie, ob die folgenden Abbildungen f : R ⁿ → R ^m linear sind:

i) f : R ² → R, (x₁, x₂) → x₁ · x₂,

ii) f : R ² → R ³ , (x₁, x₂) → (2x₁, −x₂, x₁ + x₂),

iii) f : R ² → R, (x₁, x₂) → ⟨(α, β),(x₁, x₂)⟩ (α, β ∈ R fest).

Ein guter Sonntag,

Zum Beispiel denke ich, dass 2 eins linear ist, aber ich bin unentschlossen, wie ich es anzeigen soll. Ich freue mich, wenn Sie helfen

LG.

Answer 1

Hallo

immer dasselbe: ist 1. f(0)=0

2. ist f(v1+v2)=f(v1)+f(v2)

3. ist f(r*v)=r*f(v) mit v=(x1,x2)

Das ist der einzige Weg Linear oder nicht zu zeigen. wenn eines der 3 nicht stimmt -> nicht linear, für linear muss man alle 3 zeigen.

lul

Comments

Danke lul,

Für i;

f(0)=0 skalar α=0

x=(x1,x2),y=(y1,y2)∈R² und ∀  α,β∈K.

αx+βy=(αx1+βy1,αx2+βy2)

dann

f(αx+βy)=f(αx1+βy1,αx2+βy2)

=(αx1+βy1)(αx2+βy2)

=α2x1x2+αβ(x1y2+x2y1)+β2y1y2.

gleich für αf(x)+βf(y)

αf(x)+βf(y)=αf(x1,x2)+βf(y1,y2)

=α(x1x2)+β(y1y2)

=αx1x2+βy1y2

Wenn x=(1,1)=y∈R²

für α=1=β∈K

f(αx+βy)=4≠2=αf(x)+βf(y)

also nicht linear

Was denkst du?

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Hallo

viel zu umständlich f(r*(x1,x2))=rx1*rx2=r^2x1x2≠r*f((x1,x2)=r*x1x2

nimm immer das einfachste Gesetz was nicht stimmt.

Gruß lul