Zeige; Wenn f injektiv ist dim(f(R^5)) = 5.

Question

$$ Sei\quad f:\quad { R }^{ 5 }\quad \rightarrow \quad { R }^{ 8 }\quad eine\quad lineare\quad Abbildung\\ -\quad ist\quad f\quad injektiv,\quad gilt:\quad { dim }_{ R }(f({ R }^{ 5 }))\quad =\quad 5\\ -\quad ist\quad f\quad nicht\quad injektiv,\quad gilt:\quad { dim }_{ R }(f({ R }^{ 5 }))\quad \le \quad 4 $$

Ich hätte das über den Rangsatz gezeigt:

$$ { dim }_{ R }({ R }^{ 5 })\quad =\quad 5\quad und\quad da\quad f\quad injektiv\quad ist,\quad muss\quad ker\quad f\quad =\quad \left\{ 0 \right\} ,\quad also\quad { dim }_{ R }(ker\quad f)\quad =\quad 1\\ Also:\quad { dim }_{ R }(f({ R }^{ 5 })\quad =\quad { dim }_{ R }({ R }^{ 5 })\quad -\quad { dim }_{ R }(ker\quad f)\quad =\quad 5-1\quad =\quad 4 $$
Das ist nun offensichtlich falsch. Kann mir jemand meinen Fehler erklären?

Comments

Bei b) gilt

dim(kern(f)) ≥ 1 nicht einfach =1.

Sollte eigentlich auch in deinem Rangsatz so stehen.

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Zur b) bin ich ja nicht gekommen, da ich schon bei der ersten Frage einen Fehler habe. Und in der ersten Frage ist f injektiv, also ist im Kern nur die 0.  Dh. mein Ansatz bezieht sich bis jetzt nur auf "Sei f injektiv..."

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Aha. Ein Punkt allein hat doch nicht  die Dimension 1. Das ist keine Gerade / keine Linie.

dim( {0}) = 0.

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...Das ist ja schon fast peinlich, dass ich sowas überhaupt fragen musste. Vielen Dank für deine Hilfe. Schönen Abend noch.

Answer 1

1. Teil ist ja wohl erledigt.
2. Teil dann aber doch auch

Kern ungleich { 0 } hreißt doch dann dim(Kern) > 0 also ≥ 1
und damit rang < 5 also ≤ 4