Gilt dim(V) = dim(Kern(f)), wenn f eine Nullabbildung ist?

Question

ich bräuchte unbedingt Hilfe bei einer Aufgabe, ich würde mich freuen, wenn Ihr mir weiter helfen könnt.

Der Dimensionssatz für eine lineare Abbildung:

f:V→W

dim(V)=dimKern(f)+dimBild(f)

Wie kann man anhand der Nullabbildung nachrechnen, dass die Dimension von V und nicht die von W rauskommen muss? Ich habe echt keinen Plan. 

Die Nullabbildung bildet ja alles auf Null ab, also es gilt:

f(x)=0 ; das gilt für alle x.

Also wie zeige ich mit der Nullabbildung, dass die Dimension von V herauskommen muss, nicht die von W? 

Würde mich über einen Ansatz oder sogar über eine Lösung freuen!

Änderung: Überschrift neu formuliert.
Alte Überschrift: Hat jemand eine Idee als Ansatz für den Beweis/ die Rechnung?

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Wie mit der Nullabbildung die Dimension zeigen?

Stichworte: dimension,abbildung

Der Dimensionssatz für eine lineare Abbildung:

f: V→W

dim(V)=dimKern(f)+dimBild(f)

Wie kann man anhand der Nullabbildung nachrechnen, dass die Dimension von V und nicht die von W rauskommen muss?

, würde mich über Hilfe freuen! :-)

mfg,

Turing

---

Also wie zeige ich mit der Nullabbildung, dass die Dimension von V herauskommen muss, nicht die von W?

Herauskommen für was, für Kern(f) `?

---

Es geht darum, mit der Nullabbildung zu zeigen, warum die Dimension von V im Dimensionsatz herauskommen muss und nicht die Dimension von W.

Answer 1

Hi

Wegen f(x) = 0 für alle x ist W = {0} der Nullvektorraum mit der Dimension Null(mit der leeren Menge als Basis).
 D.h. es ist dim(Bild(f)) = 0 und mit dem Dimensionssatz folgt
dim(V) = dim(Kern(f)) + dim(Billd(f))
dim(V) = dim(Kern(f)) + 0
dim(V) = dim(Kern(f))

Beste Grüße

Comments

Achso Es ging eben darum, zu zeigen, dass die Dimension von V und nicht die von W herauskommen muss. Also warum es dim(V) = dim(Kern(f)) + dim(Billd(f)) sein muss und nicht dim(W) = dim(Kern(f)) + dim(Billd(f)). Reicht dieser Beweis dann als Erklärung aus?

---

Wenn Du zeigen sollst, dass dim(V) = dim(Kern(f)) herauskommen muss und wenn ihr den Dimensionssatz benutzen dürft, dann passt das.

---

Okay, vielen, vielen Dank für die Hilfe!!! Ich habe einfach zu kompliziert darüber nachgedacht :)

So ergibt das Sinn. Dankeschön.

---

Gerne! :-)                  
Danke für den Stern! :-)

Answer 2

Wenn f die Nullabbildung ist, dann gilt

dimKern(f) = dim(V)  und

dimBild(f) = 0 , also   dimKern(f)+dimBild(f) = dim(V) + 0 = dim(V).