da der Grenzwert in \( x \) existiert, gibt es \( c \in \mathbb{R} \) mit
\( \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = c \).
Dies kann geschrieben werden als
\( \lim_{h \rightarrow 0} f(x+h)-f(x) = \lim_{h \rightarrow 0} hc \).
Man kann nun ein \( h^* > 0 \) beliebig wählen, sodass
\( f(x + h) - f(x) \leq h^* c \)
für \( h \leq h^* \) (also insbesondere für \( | h | \leq h^* \)). Zu gegebenem \( \epsilon \) wählt man nun \( h^* = \frac{\epsilon}{c} \) und hat mit \( h^* = \delta \) eine \( \delta \)-Umgebung von \( x \) gefunden, auf der
\( f(x*) - f(x) \leq \epsilon \)
für \( x^* \in U_{\delta} \).
Mister
