Ableitungen von Funktionen zeigen

Question

Zum Lösen dieser Aufgabe darf folgende Eigenschaft benützt werden:

$$ \left( \sum _{ n }^{  }{ { a }_{ n } } { x }^{ n } \right) '\quad =\quad \sum _{ n }^{  }{ ({ a }_{ n } } { x }^{ n })' $$

Zeige, dass

(a) exp(x)' = exp(x)

(b) cos(x)' = -sin(x)

(c) sin(x)' = cos(x)

gilt.

Answer 1

Aufgabe (a)
$$ e^x=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!} $$
$$ \frac{d}{dx}e^x=\sum_{n=1}^\infty\frac{n\cdot x^{n-1}}{n!}=\sum_{n=1}^\infty \frac{x^{n-1}}{(n-1)!}=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{n}}{n!}=e^x $$

Comments

Vielen Dank erstmals,

leider verstehe ich den ersten Schritt nicht ganz, einerseits das d/dx)*e^x und wieso man dann die Summe bei n=1 beginnt und den Zähler anpasst?

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Der erste Summand in der ersten Summe entfällt für \( n=0\). Aslo beginnt die Summe bei \( n=1 \).

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Das (d/dx)*e^x ist eine andere Schreibweise für (e^x)' -- die ganze Gleichung wird also differenziert. Da der erste Summand der Summe (der für n=0) 1 ist, ist seine Ableitung 0 und die kann weggelassen werden. Der Zähler wird auch nicht "angepasst", sondern jeder Summand wird abgeleitet. Danach wird gekürzt und jetzt erst wird der Summationsindex verschoben, sodass wieder die Exponentiialreihe da steht.

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Ok, (a) habe ich jetzt verstanden, danke euch beiden!

Das heisst, ich muess bei den Aufgaben (b) und (c) den cos(x) bzw. den sin(x) auch als Summe aufschreiben und diese dann ableiten?

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Ja genau                          .

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Ich habe die Rechnung nun für den Sinus versucht und bin auf folgendes gekommen:

$$ \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \frac { { { (-1) }^{ n }x }^{ 2n } }{ (2n)! }  } $$ was nicht dem -sinus(x) entspricht...

könntest du eventuell hier weiterhelfen?

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Wenn Du den Sinus abgeleitet hast muss der Cosinus raus kommen und das tut er. Das was Du hingeschrieben hast die die Potenzreihenentwicklung für den Cosinus.