Ableitungen berechnen (arccos/arctan)

Question

Berechne die folgenden 2 Ableitungen:

(a) arctan'(x)

(b) arccos'(x)

Answer 1

TAN(ARCTAN(x)) = x

TAN'(ARCTAN(x)) · ARCTAN'(x) = 1

ARCTAN'(x) = 1/TAN'(ARCTAN(x))

Merke: TAN'(x) = TAN(x)^2 + 1

ARCTAN'(x) = 1/(TAN(ARCTAN(x))^2 + 1)

ARCTAN'(x) = 1/(x^2 + 1)

Comments

COS(ARCCOS(x)) = x

COS'(ARCCOS(x)) · ARCCOS'(x) = 1

ARCCOS'(x) = 1/COS'(ARCCOS(x))

Merke: COS'(x) = - SIN(x) = - √(1 - COS(x)^2)

ARCCOS'(x) = - 1/√(1 - COS(ARCCOS(x))^2)

ARCCOS'(x) = - 1/√(1 - x^2)

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Vielleicht kannst du mal den ARCSIN auf ähnliche Weise herleiten

ARCSIN'(x) = 1/√(1 - x^2)

Probier das mal

Answer 2

b)

Mit (f ^-1)' = 1/f'(f ^-1) folgt:

f(x) = cos(x)

f'(x) = -sin(x)

f ^-1 = arccos(x)

(f^-1)' = 1/f'(f ^-1) = 1/(-sin(arccos(x)))

Mit cos²+sin² = 1 --> sin = √(1-cos²)

-1/√(1-cos(arccos(x))²) = -1/√(1-x²), denn cos(arccos(x)) = x, hebt sich also gegenseitig auf.

Für den Tanges arbeite auf ähnliche Weise.

Grüße