Lineare Abbildungen Dimensionen Basen

Question

Für die beiden folgenden Teilaufgaben geben Sie wie üblich genauen, kleinschrittigen Begründungen.

(a) Seien K und f : M₃ (K)  →  K³ mit f((a_ij )_ij  = \( \begin{pmatrix} a11\\a22\\a33 \end{pmatrix} \).

Geben Sie eine Basis von ker f an.

(b) Geben Sie zwei lineare f, g : ℝ³  → ℝ³  so an , dass 

 dim((f ◦ g)(ℝ³ )) < min { dim_ℝ  f(ℝ³ ), dim_ℝ g(ℝ³ )} gilt.

Vergessen Sie nicht den Nachweis der Linearität

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Vom Duplikat:

Titel: Lineare Abbildungen; Dimension, Kern

Stichworte: kern,dimension,lineare-abbildung,lineare-algebra

Für die beiden folgenden Teilaufgaben geben Sie wie üblich genauen, kleinschrittigen Begründungen:

a) Seien K und f : M₃(K) → K³ mit f((a_ij )_ij ) = \( \begin{pmatrix} a11\\a22\\a33 \end{pmatrix} \)  . Geben Sie eine Basis von ker f an.
b) Geben Sie zwei lineare Abbildungen f, g : ℝ³ → ℝ³ so an, dass dim_ℝ((f ◦ g)(R³)) < min{dim_ℝ f(ℝ³), dim_ℝ g(ℝ³)} gilt.

(Vergessen Sie nicht den Nachweis der Linearität.)

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Keiner der weiterhelfen kann?

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Vom Duplikat:

Titel: Lineare Abbildungen Basis bestimmen von ker f

Stichworte: basis,kern,lineare-abbildung,matrizen

(a) Seien K und f : M₃(K) → K³ mit f((a_ij )_ij ) = \( \begin{pmatrix} a11\\a22\\a33 \end{pmatrix} \)

.Geben Sie eine Basis von ker f an.

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Du hast die Frage doch gestern schon hier gestellt.

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aber leider immer noch keine Antwort erhalten :(

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Kann irgendjemand weiterhelfen ?

wäre sehr dankbar.

Mfg

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Vom Duplikat:

Titel: Basis vom Kern einer Abbildung angeben

Stichworte: basis,kern,abbildung

(a) Seien K und f : M3 (K)  →  K3 mit f((aij )ij  = \( \begin{pmatrix} a11\\a22\\a33 \end{pmatrix} \).

Wie bekomme ich jetzt eine Basis von ker f  hin ?

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Hallo,

M3(K) sind die (3,3)-Matrizen? Kennst Du denn eine Basis für M3(K)? Wenn nicht, überlege, wie man die Idee der Standard-Basis für \(\mathbb{R}^3\) verallgemeinern könnte. Dann überlege, welche Elemente der Basis zum Kern von f gehören.

Gruß

Answer 1

  s ist ja für eine Matrix A definiert  f(A) ist der Vektor von K^3 , dessen Komponenten

genau die Diagonalelemente von A sind. Damit A im Kern liegt, müssen diese alle

drei 0 sein, also bleiben die restlichen 6 beliebig. Eine Basis besteht also z.B aus

0    1    0
0    0    0
0   0     0

und

0   0    1
0    0    0
0   0     0

und

0   0    0
1    0    0
0   0     0        etc.

also alle Matrizen, die nur an einer Stelle,

die nicht auf der Hauptdiagonalen ist, eine 1

haben und sonst nur Nullen.

Comments

vielen Dank für die Hilfe.

Hab es jetzt endlich verstanden :)

Liebe Grüße

Sarah