Lineare Abbildungen und Dimensionen

Question

Aufgabe:

(b) Geben Sie zwei lineare Abbildungen \( f, g: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) so an, dass
$$ \operatorname{dim}_{\mathbb{R}}\left((f \circ g)\left(\mathbb{R}^{3}\right)\right)<\min \left\{\operatorname{dim}_{R} f\left(\mathbb{R}^{3}\right), \operatorname{dim}_{\mathbb{R}} g\left(\mathbb{R}^{3}\right)\right\} $$
gilt. (Vergessen Sie nicht den Nachweis der Linearität.)

Übrigens: Dass in (b) in der Ungleichung immer \(" \leq"\) gilt, lernen Sie noch in Lemma 3.3.3. Sie sehen mit dieser Aufgabe nebenbei auch, dass nicht immer Gleichheit gilt.

Kann mir jemand bitte hier eine kleinschrittige und verständliche Lösung schreiben?

:)

Answer 1

$$g:\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} x\\y\\0 \end{pmatrix}$$

$$f:\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 0\\y\\z \end{pmatrix}$$

Comments

Kannst du dies noch erklären und mir zeigen wie ich die Linearität nachweise?

Vielen Dank schonmal für deine Antwort. :)

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Versuche doch mal für den Anfang zu zeigen:

Versuche doch für den Anfang mal zu zeigen

$$g(\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix})=g(\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix})+g(\begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix})$$

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Ja alles gut, das ist wie man Additivität zeigt. Ich weiß auch wie man Homogenität zeigt, ich wollte nur für später eine Lösung haben um das abzugleichen und um sicherzugehen :)

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Stell deine Lösung rein, dann schauen wir gerne drüber.

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Was setze ich für (a b c) und (x y z) ein?

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Du verwendest einfach die Definitionen:

$$g:\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} x\\y\\0 \end{pmatrix}$$

$$g:\begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} a\\b\\0 \end{pmatrix}$$

und für die Summe der Vektoren bildest du erst komponentenweise die

Summe und wendest dann die Def. an.

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Ich hab jetzt g((x+a y+b 0)) (untereinander) und g((x y 0)) + g((a b 0)) (untereinander)

Kannst du mir jetzt nochmal sagen wie es weitergeht?

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Es muss wohl so gehen: (du hast rechts das g ja schon angewendet !)

$$g(\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix})=g(\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix})+g(\begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix})$$

$$<=>g(\begin{pmatrix} x+a\\y+b\\z+c \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} x\\y\\0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} a\\b\\0 \end{pmatrix}$$

und jetzt links Def. von g

$$<=>\begin{pmatrix} x+a\\y+b\\0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x\\y\\0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} a\\b\\0 \end{pmatrix}$$

Nach der Def. von + für Vektoren ist das richtig !   q.e.d.