Lineare Abbildungen in endlich dimensionalen K-Vektorräumen Rang und Dimensionen

Question

Aufgabe:

a) Es seien φ, ψ : V → W lineare Abbildungen zwischen den endlich dimensionalen K -Vektorräumen V und W.

Zeigen Sie:
|Rang(φ) − Rang(ψ)| ≤ Rang(φ + ψ) ≤ Rang(φ) + Rang(ψ).

b) Es seien V ein endlich dimensionaler K -Vektorraum und φ, ψ ∈ End(V ). Zeigen Sie:

max(dim Kern(φ), dim Kern(ψ)) ≤ dim Kern(ψ ◦ φ) ≤ dim Kern(φ) + dim Kern(ψ).

Problem/Ansatz:

An sich habe ich verstanden worum es geht, aber ich weiß nicht, wie ich es zeigen soll.

Answer 1

Der Rang einer linearen Abbildung f:V---> W  ist die Dimension des Bildraumes  f(V).

Für a) benutze ich jetzt mal f und g als Namen, dann hast du

Rang(f) = Dimension   f(V)   und 
Rang(g) = Dimension   g(V)   und 
Rang(f+g) = Dimension   (f+g)(V)

Nun lässt sich aber jedes w ∈  (f+g)(V)  darstellen

als  w = (f+g)(v) mit einem v ∈ V

bzw.     w = f(v) +g(v) .   Nun sind aber

f(v) aus f(V) und g(v) aus g(V) und wenn

x1,..,xn eine Basis von f(V) und  y1,...,yk eine Basis von g(V) sind,

[ also n=Rang(f) und k=Rang(g) ]

dann gibt es a1,...,an und b1,...,bk aus K mit

f(v) = a1*x1 +...+an*xn und g(v)=b1*y1 +...+ bk*yk

und damit kann w  =  f(v) +g(v) immer als

eine Linearkombination von höchstens n+k

Vektoren aus   (f+g)(V)   dargestellt werden, also

hat eine Basis von  (f+g)(V)  höchstens n+k

Elemente und es ist n=Rang(f) und k=Rang(g),

also Rang(f+g) ≤Rang(f) + Rang(g).