Dimensionen von reellen Vektorräumen: Polynome und Matrizen

Question

Aufgabe:

Ich habe folgende Aufgabe: Bestimme Dimension von folgenden Vektorräumen:

V₁:= { p ∈ ℝ [X] | Grad (p) < 5 und p(1) = p(2) = 0 }

V₂:= { M = (mi,j) ∈ ℝ^3x3 | mi,j = 0 für i > j }

Bei V1 weiß ich, dass es alle Polynome sind, die an der Stelle 1 und 2 eine Nullstelle haben. Also wäre das Polynom: (x-1)(x-2) in V1. Ich hätte jetzt gedacht, dass es Dimension 2 hat. Mein Prof meint aber 3 mit dem Argument, dass es a₂X²+ a₁X + a₀ wäre. Ich kann damit aber nichts anfangen..Weiß einer, was damit genauer gemeint ist ?

Und zu V2: Das wäre die 3x3 Matrix mit Nullen auf der unteren Dreiecksmatrix.

Somit sähe die Matrix M so aus: \( \begin{pmatrix} * & * & * \\ 0 & * & *  \\ 0 & 0 & * \end{pmatrix} \)

Diese Matrix hat Dimension 6. Ich dachte aber, dass sie Dimension 3 hat. Eine Matrix die man solange mit Gauß umformt, bis man die Gestalt von M hat, würde Dimension 3 haben, da sie vollen Rang hat. Wieso hat M Dimension 6?

Ich danke für jede Antwort !!

Comments

Ein Polynom in V₁ ist typischerweise der Form p(x)=(x-1)·(x-2)·(ax²+bx+c).

Answer 1

Also wäre das Polynom: (x-1)(x-2) in V₁

Ja. An dieses Polynom kann noch ein beliebiges Polynom mit Grad ≤ 2 heranmultipliziert werden, ohne dass das Ergebnis aus V₁ herausfällt. Der Vektorraum der Polynome vom Grad ≤ 2 hat Dimension 3.

Diese Matrix hat Dimension 6.

Matrizen haben keine Dimension. Vektorräume haben eine Dimension.

würde Dimension 3 haben, da sie vollen Rang hat.

Die Nullmatrix sieht auch so aus, wie du es beschrieben hast. Dort wo du Sterne hingemalt hast, steht dann halt auch 0.

Die Nullmatrix hat nicht vollen Rang.

Die Menge

\( \left\{ \begin{pmatrix} 1&0&0\\0&0&0\\0&0&0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0&1&0\\0&0&0\\0&0&0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0&0&1\\0&0&0\\0&0&0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0&0&0\\0&1&0\\0&0&0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0&0&0\\0&0&1\\0&0&0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0&0&0\\0&0&0\\0&0&1 \end{pmatrix} \right\}\)

ist eine Basis von V₂.