Basis bestimmen auf Vektorraum der Polynome vom Grad <= 3

Question

Aufgabe:

Im Vektorraum V ⊂ R[X] der Polynome vom Grad ≤ 3 über dem Körper R seien die beiden
folgenden Untervektorrräume gegeben:

U := [1+2X², X + 2X³, 1+X +X² + 2X³]

W := [1+X², X +X² +X³, 1+X + 2X² +X³]

1. Bestimmen Sie zu U und W jeweils eine Basis.

2. Bestimmen Sie die Dimension von U geschnitten W.

Ich weiß wie man eine Basis z.B. auf einem R⁴ Vektorraum bestimmt, aber wie geht das mit Polynomen?
Leider bekomme ich noch nicht einmal einen Ansatz hin. Kann mir jemand erklären wie man z.B. die Basis von U berechnet?
Und wie kommt auf auf Dimension des Schnittes von U und W?

Vielen Dank schonmal!

Answer 1

Zu 1.:

es sollte dir bekannt sein, dass man aus einem Erzeugendensystem

eines Vektorraums durch etwaiges Weglassen von Elementen

eine Basis des VRs bekommt, wenn man eine linear unabhängige

erzeugende Menge gefunden hat.

Für U und für W sind Erzeugendensysteme angegeben.

Nun schaue, welche Erzeugenden sukzessive weggelassen werden können,

bis du eine linear unabhängige Teilemenge gefunden hast.

Solange die verbleibenden Erzeugenden immer noch abhängig

sind, weißt du, dass du eine unter ihnen weglassen kannst.

Ist das Erz.system von vornherein linear unabhängig, ist

es bereits eine Basis des erzeugten Raumes [ ... ].

Comments

Vielen Dank schonmal!

Ist es auch möglich die einzelnen Erzeugenden durch vierkomponentige Vektoren darzustellen, diese zu einer Matrix zusammenzufassen und dann mit dem Gauß-Verfahren die Basis zu bestimmen?
Also kann ich z.B. zum Bestimmen der Basis von U := [1+2X2, X + 2X3, 1+X +X2 + 2X3]

die Vektoren (1,0,2,0),(0,1,0,2),(1,1,1,2) bilden, die zur Matrix

1	0	2	0
0	1	0	2
1	1	1	2

machen und dann das Gauß-Verfahren anwenden?

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Das ist möglich, aber dann müsstest du das Gauß-Verfahren mittels Spaltenumformungen durchführen. Vielleicht solltest du statt deiner Matrix ihre Transponierte verwenden...

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Ist es auch möglich die einzelnen Erzeugenden durch vierkomponentige Vektoren darzustellen

Ja. Grund ist, dass V isomorph zu R⁴ ist.

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Super, danke!

Answer 2

Ich weiß wie man eine Basis z.B. auf einem R⁴ Vektorraum bestimmt

V ist isomorph zu R⁴.