Wie sieht ein Vektor im Vektorraum aller Polynome vom Grad <=3 aus?

Question

Meine Frage formuliert mein Anliegen schon recht genau.

Ein Vektorraum V= {r(x)=a1*x^3+a2*x^2+a1*x+a0} ist gegeben. Wie sieht jetzt ein Vektor in diesem Vektorraum aus? In wie vielen Dimensionen sind wir hier überhaupt unterwegs?

Answer 1

Beispiel Vektoren wären

$$4x^3+4x+2,\quad x^3+x,\quad x^2,\quad2x^2-4,\quad 3x^3+2x^2+3x-5,\quad 1$$

Offensichtlich kannst du einen Isomorphismus finden, der jeden Vektor \(\vec{x}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}\in \mathbb{R}^3\) bijektiv auf einen Vektor \(\vec{v}=a_1x^3+a_2x^2+a_1x+a_0 \in V\) abbildet, also \(\dim(V)=\dim(\mathbb{R}^3)=3\).

Answer 2

$$ \begin{pmatrix} x^3\\x^2\\x^1\\x^0 \end{pmatrix} \cdot \left(a_3,a_2,a_1,a_0\right)= a_3 \, x^3+a_2 \, x^2+a_1 \, x^1+a_0 \, x^0$$