Bestimmen Sie die Dimension des Vektorraums aller homogenen Polynome vom Grad d in n Variablen.

Question

Ein homogenes Polynom vom Grad d in n Variablen ist ein Polynom der Form

p(x₁,...,x_n) = \( \sum\limits_{|α| = d}^{}{} \) a_αx^α

Bestimmen Sie die Dimension des Vektorraums aller homogenen Polynome vom Grad d in n Variablen. (Verwenden Sie Multiindex-Notation)

Answer 1

Die Anzahl der Monome (ohne Koeffizienten) des Grades \(d\)

ist gleich der Anzahl Multi-Indizes \((\alpha_1,\cdots,\alpha_n)\),

für die \(\alpha_1+\cdots+\alpha_n=d\) ist, d.h. die Anzahl der

Partitionen von \(d\) in \(n\) Summanden. Diese wird durch die

Formel$${{d+n-1}\choose {n-1}}$$geliefert.