Unterraum eines endlich-dimensionalen Vektorraums auch endlich-dimensional

Question

Hallo liebe Mathematiker, 

mich würde gern der Beweis interessieren warum der Untervektorraum eines endlich-dimensionalen Vektorraums immer endlich-dimensional ist. Also mir ist das schon klar das es anders nicht sein kann, aber mir fällt schwer es aufs Blatt zu bekommen. 

Eventuell Basisergänzung bzw. Steinitzscher Austauschsatz? 

Liebe Grüße Jörg

Answer 1

Basisergänzung ist eine gute Idee.

Eine Basis des Unterraumes U ist auch lin. unabh. im

gesamten Raum V, kann also zu einer Basis von V

ergänzt werden, die dann nur endlich viele

Elemente. Da jede Teilmenge einer endlichen Menge


endlich ist, ist die Basis von U auch endlich und somit

U endlichdimensional.