Aufgabe:
Text erkannt:
a) Seien \( U_{1} \) und \( U_{2} \) zwei 2-dimensionale Untervektorräume in \( \mathbb{R}^{3} \). Welche Dimension kann \( U_{1} \cap U_{2} \) annehmen? Geben Sie für jeden auftretenden Fall ein Beispiel an.
b) Wie ändert sich das Ergebnis aus a), wenn \( U_{1}, U_{2} \subset \mathbb{R}^{4} \) nun zwei 2-dimensionale Untervektorräume in \( \mathbb{R}^{4} \) sind?
Problem/Ansatz:
Guten Tag, bin mir wenig unsicher mit der oben genannten Aufgabe. Ich habe folgende Lösungen:
a)
Beispiele:
Dimension 0: span((1,0,0),(0,1,0)) ∩ span((1,1,1),(1,0,1))
Dimension 1: span((1,0,0),(0,1,0)) ∩ span((1,0,0),(0,0,1))
Dimension 2: span((1,0,0),(0,1,0)) ∩ span((1,0,0),(0,1,0))
b)
Dimension 0: span((1,0,0,0),(0,1,0,0)) ∩ span((0,0,1,0), (0,0,0,1))
Dimension 1: span(1,0,0,0), (0,1,0,0)) ∩ span (1, 0, 0, 0), (0,0,0,1)
Dimension 2: span(1,0,0,0), (0,1,0,0)) ∩ span(1,0,0,0), (0,1,0,0))
Wie man sieht habe ich sowohl für den Fall des R^3, als auch für den R^4, heraus dass durch den Durchschnitt zwei zwei-dimensionaler Untervektorräume die Dimensionen 0,1 und 2 entstehen kann.
Kommt mir allerdings etwas komisch vor, dass bei beidem das selbe rauskommt.
Stehe ich auf dem Schlauch und übersehe ich etwas offensichtliches?
Freue mich über jede Hilfe!
