Dimension der Schnittmenge von Untervektorräumen

Question

Aufgabe:

Sei V ein Vektorraum und U1, U2 ⊂ V Untervektorräume von V .

Wenn dimV = 3 und dimU1 = dimU2 = 2, und U1 ̸= U2 zeigen Sie dass dim(U1 ∩ U2) = 1.

Problem/Ansatz:

Da U1 + U2 UVR von V folgt, dass dim(U1 + U2) ≤ 3.

Und dim(U1 ∩ U2) ≤ 1, da U1 /= U2. Wie kann ich diese Aussage hier allgemeingültig beweisen?

Answer 1

Genau :

Da U1 + U2 UVR von V folgt, dass dim(U1 + U2) ≤ 3.

und  dim(U1 ∩ U2)≤ 1 hast du ja auch.

Außerdem gilt

dim(U1 + U2) = dim(U1) + dim(U2) - dim(U1 ∩ U2)

<=> dim(U1 + U2) = 4 - dim(U1 ∩ U2)

<=> dim(U1 + U2) + dim(U1 ∩ U2) = 4

Wenn die Summe zweier Zahlen, von denen eine

kleiner oder gleich 3 und die andere kleiner oder gleich 1 ist

zusammen 4 ergibt, müssen das schon die Zahlen

3 und 1 gewesen sein.

Comments

Okay danke für beide Antworten. Ich hatte in meiner Lösung die ich abgegeben hatte, ebenfalls so argumentiert. Doch wurde mir gesagt, dass dies noch nicht ausreichen würde.

Ich soll nämlich zeigen wieso aus U1 /= U2 folgt dim(U1 ∩ U2) ≤ 1.

Für mich erscheint das logisch, doch es reicht wohl nicht hinzuschreiben warum dies daraus folgt.

Answer 2

Es ist \(\dim (U_1\cap U_2) < 2\) weil \(U_1\cap U_2\subsetneq U_1\) und \(\dim U_1 = 2\) ist.

Also ist \(\dim (U_1\cap U_2)\in \{0,1\}\).

Wäre \(\dim (U_1\cap U_2) = 0\), dann wäre \(U_1\cap U_2 = \{0\}\) und somit \(\dim(U_1 + U_2) = \dim U_1 + \dim U_2 = 4\) im Widerspruch zu \(\dim(U_1 + U_2)\leq \dim V = 3\).