Gleichheit der Dimensionen von Untervektorräumen

Question

Hallo, ich brauche ein bisschen Hilfe bei folgender Aufgabe:

Sei \( K \) ein Körper, \( V \) ein endlich dimensionaler \( K \)-Vektorraum und \( n \in \mathbb{N} \). Zeigen Sie, dass für jede Familie \( U_{1}, \ldots, U_{n} \) von \( K \)-Untervektorräumen in \( V \) folgende Formel gilt:

\(\sum \limits_{i=1}^{n} \operatorname{dim}\left(U_{i}\right)=\operatorname{dim}\left(\sum \limits_{i=1}^{n} U_{i}\right)+\sum \limits_{i=1}^{n-1} \operatorname{dim}\left(\left(\sum \limits_{j=1}^{i} U_{j}\right) \cap U_{i+1}\right) . \)

Ich glaube, dass

\(\sum \limits_{i=1}^{n-1} \operatorname{dim}\left(\left(\sum \limits_{j=1}^{i} U_{j}\right) \cap U_{i+1}\right)\) = 0 ist, da die Schnittmenge der Untervektorräume immer die 0 als gemeinsames Element hat. Folglich müsse dann doch

\(\sum \limits_{i=1}^{n} \operatorname{dim}\left(U_{i}\right)\) = \(\operatorname{dim}\left(\sum \limits_{i=1}^{n} U_{i}\right)\) gelten oder nicht?

Oder muss ich annehmen, dass \(\sum \limits_{i=1}^{n-1} \operatorname{dim}\left(\left(\sum \limits_{j=1}^{i} U_{j}\right) \cap U_{i+1}\right)\) ≠ 0 ist?

Vielen Dank für die Hilfe!

Answer 1

da die Schnittmenge der Untervektorräume immer die 0 als gemeinsames Element hat.

Aber die 0 muss nicht das einzige gemeinsame Element sein.

Triviales Beispiel: \(K=V=U_1=U_2 = \mathbb{Q}\). Dann ist \(U_1\cap U_2 = \mathbb{Q}\).

Comments

Ja genau, wie kann ich dann beweisen bzw. den Fall betrachten, das es auch mehrere Elemente geben kann?