Dimensionsbestimmung von Untervektorräumen mit unbekannter Basis.

Question

Aufgabe:

Wir betrachten die folgenden Untervektorräume von \( \mathbb{R}^{4} \) :
\( \begin{array}{l} W_{1}=<(1,0,0,1),(-2,-1,1,1),(-3,-2,2,3)>, \\ W_{2}=<(2,1,0,3),(-1,-1,0,-2),(7,4,0,11)>. \end{array} \)
Bestimmen Sie \( \operatorname{dim}_{\mathbb{R}} W_{1}, \operatorname{dim}_{\mathbb{R}} W_{2}, \operatorname{dim}_{\mathbb{R}}\left(W_{1}+W_{2}\right) \) und \( \operatorname{dim}_{\mathbb{R}}\left(W_{1} \cap W_{2}\right) \).

Problem/Ansatz:

Um die Dimension von W1 und W2 zu erhalten muss ich nachweisen, dass die Vektoren eine Basis bilden. Dafür muss ich prüfen welche Vektoren lin. unabhängig sind. Bei W1 ergibt sich relativ schnell eine Nullzeile und bei W2 existiert bereits eine Nullzeile. Kann ich diese Erkenntnis zum Lösen verwenden?

Muss ich für die Bestimmung der Dimension der Summe einfach die jeweiligen Vektoren addieren? Und wie verhält es sich mit der Vereinigungsmenge. Muss ich da einfach alle Vektoren in den Spann nehmen?

Mit freundlichen Grüßen Simplex

Answer 1

Bei W1 ergibt sich relativ schnell eine Nullzeile

Es ergeben sich sogar 2 Nullzeilen, also ist die dim=4-2=2.

Und bei W2 auch.

Und für W1+W2 packst du alle 6 Vektoren in eine Matrix und

bringst diese aus Stufenform, das gibt eine mit einer

Nullzeile, also dim (W1+W2)=3

Mit der dim_Formel

dim(W1+W2) = dim(W1)+dim(W2)-dim(W1∩W2)  (Durchschnitt!)

==>    3 = 2 + 2 -dim(W1∩W2)

==> dim(W1∩W2) = 1