Basis von Untervektorräumen Bsp. U_{1} = {(x_{1},x_{2},x_{3} )∈ℝ^{3 }I x_{1}=x_{2}=x_{3}}

Question

Seien U und U die folgenden Untervektorräume des ℝ³ :

U₁ = {(x₁,x₂,x₃ )∈ℝ³ I x₁=x₂=x₃}      U₂= { (x₁,x₂,x₃) ∈ℝ³ I x₁+x₂=0 }

Wie bestimme ich die Basis aus  U1 und U2 ?

Ich weiß nicht recht wie ich aus den Bedingungen ein LGS aufstellen soll,

für U1 habe ich mir  (1,1,1) gedacht als Basis weiß allerdings nicht ob das richtig ist und bei U2 stoße ich auf das Problem dass x₃ in keine Bedingung verknüpft ist, wäre sie dann null in der basis?

Und wie erstelle ich U1∩ U2?

dankeschön :)

Comments

Wie ist das "und" gemeint?

Wie bestimme ich die Basis aus  U1 und U2 ?

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Wenn wir mal nicht aus dem selben Kurs sind

Answer 1

für U1 habe ich mir  (1,1,1) gedacht als Basis weiß allerdings nicht ob das richtig ist 

B1 = { (1,1,1) } passt.       U1 ist eine Gerade im R^3.

und bei U2 stoße ich auf das Problem dass x3 in keine Bedingung verknüpft ist, wäre sie dann null in der basis?

B2 = {(1,-1,0}, (1,-1,1)}      U2 ist eine Ebene im R^3

Comments

dankeschön :) und wie komme ich auf die Basis B1 für U1 und B2 für U2, bzw. wie komme ich auf das zweite Basiselement bei U2?

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Bei B1 habe ich einen Druckfehler korrigiert.

B2: Man schaut einfach, was zur Gleichung passt.

D.h. (1,-1,0), (1,-1,1), (1,-1,2), (1,-1,-7),(2,-2,23) usw.

Nun schaust du, welche dieser Vektoren du als Linearkombination von andern Vektoren darstellen kannst.

(1,-1,0), (1,-1,1) sind linear unabhängig. Darum kannst du sie in die Basis schreiben. Da / Wenn du weisst, dass U2 die Dimension 2 hat, ist die Basis schon fertig.