Bestimmen Sie eine Basis von U_{1} \cap U_{2} .

Question

Im \( \mathbb{R}^{4} \) seien die Vektoren \(\begin{array}{l} v_{1}=(1,1,1,1) \\ v_{2}=(1,0,0,1) \\ v_{3}=(1,0,1,0) \\ v_{4}=(1,1,2,0) \end{array}\) gegeben sowie \( U_{1}:=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) \mid x_{1}+x_{3}=0\right\} \subset \mathbb{R}^{4} . \)

(b) Bestimmen Sie eine Basis von \( U_{1} \cap U_{2} \).
(c) Bestimmen Sie eine Basis von \( U_{1}+U_{2} \).

Comments

Was ist U2 ???

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U2:=span(v1,v2,v3,v4)

Answer 1

x=\(\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)\)∈U2

<=> Es gibt a,b,c,d ∈ℝ mit x=\(a(1,1,1,1)+b(1,0,0,1)+c(1,0,1,0)+d(1,1,2,0) \)

Also x ∈ \( U_{1} \cap U_{2} \)

     <=>  a+b+c+d+a+c+2d=0   <=>  2a + b + 2c + 3d =0 <=> b = -2a-2c-3d

Also sehen die Elemente von \( U_{1} \cap U_{2} \) so aus

\(a(1,1,1,1)+(-2a-2c-3d)(1,0,0,1)+c(1,0,1,0)+d(1,1,2,0) \)

\(=(a-2a-2c-3d+c+d, a+d, a+c+2d,a-2a-2c-3d) \)

\(=(-a-c-2d, a+d, a+c+2d,-a-2c-3d) \)

\(= a(-1,1,1,-1)+c(-1,0,1,-2)+d(-2,1,2,-3) \)

Die drei Erzeugenden sind aber lin. abh., also lass den

letzten weg, dann hast du eine Basis für \( U_{1} \cap U_{2} \).